A taxa de produção de biogás em um aterro pode ser modelada por Q(t)=80 e^{-0,1 t}(\mathrm{em} \mathrm{m}^{3} / dia), onde t é o tempo em dias.
Calcule a integral indefinida de Q(t).
Determine o volume total de biogás produzido nos primeiros 20 dias.
Resolva a integral definida usando substituição por partes.
Explique a importância da modelagem da produção de biogás no contexto da Engenharia Química, relacionando com inovação industrial (ODS 9), cidades sustentáveis (ODS 11) e produção responsável (ODS 12).
Passo 1
O enunciado fornece a taxa de produção de biogás em função do tempo: Q(t)=80e^{-0,1t} em \mathrm{m}^3/\text{dia}. Precisamos (1) calcular a integral indefinida \int Q(t)\,dt, (2) determinar o volume total nos primeiros 20 dias via integral definida \int_0^{20}Q(t)\,dt, (3) reavaliar essa integral definida usando integração por partes, e (4) discutir a relevância desse modelo para a Engenharia Química e os ODS 9, 11 e 12.
Passo 2
Para achar \int Q(t)\,dt usamos a regra básica \int e^{at}dt=e^{at}/a. Aqui a=-0,1 e há um coeficiente 80, então:
Esse modelo exponencial de Q(t) é essencial na Engenharia Química para prever o rendimento de biogás ao longo do tempo, otimizando processos de digestão anaeróbia. Relaciona-se com:
• ODS 9 (inovação industrial) ao apoiar o desenvolvimento de tecnologias de conversão de resíduos;
• ODS 11 (cidades sustentáveis) ao reduzir emissões de gases e gerar energia limpa para áreas urbanas;
• ODS 12 (produção responsável) ao promover aproveitamento de resíduos orgânicos, fechando ciclos de matéria e energia.
Pela integração por partes obteve-se o mesmo resultado: 800\bigl(1-e^{-2}\bigr)\,\mathrm{m}^3.
A modelagem apoia inovação industrial (ODS 9), viabiliza cidades sustentáveis (ODS 11) e promove produção responsável (ODS 12), otimizando o uso de resíduos para geração de energia eficiente.