A taxa de produção de biogás em um aterro pode ser modelada por Q(t)=80 e^{-0,1 t}(\mathrm{em} \mathrm{m}^{3} / dia), onde t é o tempo em dias.
  1. Calcule a integral indefinida de Q(t).
  2. Determine o volume total de biogás produzido nos primeiros 20 dias.
  3. Resolva a integral definida usando substituição por partes.
  4. Explique a importância da modelagem da produção de biogás no contexto da Engenharia Química, relacionando com inovação industrial (ODS 9), cidades sustentáveis (ODS 11) e produção responsável (ODS 12).

Passo 1

O enunciado fornece a taxa de produção de biogás em função do tempo: Q(t)=80e^{-0,1t} em \mathrm{m}^3/\text{dia}. Precisamos (1) calcular a integral indefinida \int Q(t)\,dt, (2) determinar o volume total nos primeiros 20 dias via integral definida \int_0^{20}Q(t)\,dt, (3) reavaliar essa integral definida usando integração por partes, e (4) discutir a relevância desse modelo para a Engenharia Química e os ODS 9, 11 e 12.

Passo 2

Para achar \int Q(t)\,dt usamos a regra básica \int e^{at}dt=e^{at}/a. Aqui a=-0,1 e há um coeficiente 80, então:
\int80e^{-0,1t}\,dt=80\cdot\frac{e^{-0,1t}}{-0,1}+C=-800e^{-0,1t}+C.

Passo 3

Para o volume total em 0\le t\le20 aplicamos o teorema fundamental do cálculo à primitiva -800e^{-0,1t}:
\int_0^{20}80e^{-0,1t}\,dt=\Bigl[-800e^{-0,1t}\Bigr]_0^{20}=-800e^{-2}-\bigl(-800e^0\bigr)=800\bigl(1-e^{-2}\bigr)\,\mathrm{m}^3.

Passo 4

Fazendo a mesma integral por partes escolhemos u=80 e dv=e^{-0,1t}dt, então du=0 e
v=\int e^{-0,1t}dt=-10e^{-0,1t}.
Assim:
\int_0^{20}80e^{-0,1t}dt=\Bigl.uv\Bigr|_0^{20}-\int_0^{20}v\,du=\Bigl[80\cdot(-10e^{-0,1t})\Bigr]_0^{20}-0=-800e^{-0,1t}\Big|_0^{20}=800\bigl(1-e^{-2}\bigr).

Passo 5

Esse modelo exponencial de Q(t) é essencial na Engenharia Química para prever o rendimento de biogás ao longo do tempo, otimizando processos de digestão anaeróbia. Relaciona-se com:
• ODS 9 (inovação industrial) ao apoiar o desenvolvimento de tecnologias de conversão de resíduos;
• ODS 11 (cidades sustentáveis) ao reduzir emissões de gases e gerar energia limpa para áreas urbanas;
• ODS 12 (produção responsável) ao promover aproveitamento de resíduos orgânicos, fechando ciclos de matéria e energia.

Resposta

  1. \displaystyle \int Q(t)\,dt=-800e^{-0,1t}+C.
  2. \displaystyle V=\int_0^{20}Q(t)\,dt=800\bigl(1-e^{-2}\bigr)\,\mathrm{m}^3.
  3. Pela integração por partes obteve-se o mesmo resultado: 800\bigl(1-e^{-2}\bigr)\,\mathrm{m}^3.
  4. A modelagem apoia inovação industrial (ODS 9), viabiliza cidades sustentáveis (ODS 11) e promove produção responsável (ODS 12), otimizando o uso de resíduos para geração de energia eficiente.

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