A concentração de CO2 no ar de uma sala com capacidade de 5000 m^3 é de 0,3 %. Começa a ser bombeado para dentro da sala ar contendo 0,1 % de CO2 à razão de 100 m^3 por minuto. Após bem misturado, a mesma quantidade de ar deixa a sala. Assim, a quantidade q(t) de CO2 em cada instante satisfaz a equação
q^prime=110-q50
e a função concentração c(t) de CO2 é dada por c(t)=q(t)5000.
a) Determine a solução q(t) do PVI.
b) Encontre a porcentagem de CO2 na sala depois de 10 min .
c) Depois de quanto tempo será atingida uma concentração de CO2 de 0,2 % ?

Passo 1

O problema trata do balanço de massa de CO2 numa sala de volume 5000 m^3. Inicialmente a concentração é 0,3%, logo
q(0)=5000cdot0,003=15
Entra ar a 100 m^3/min com 0,1% de CO2, isto é, afluência de tfrac110 m^3/min de CO2, e sai mistura à mesma vazão, com concentração tfracq(t)5000. Assim obtemos a EDO
q'=110-q50,
e a concentração instantânea é c(t)=tfracq(t)5000. Vamos resolver essa EDO linear.

Passo 2

Escrevendo
q'+150,q=110,
o fator integrante é
mu(t)=e^integral150dt=e^t/50
Multiplicando a EDO por mu(t) e integrando, temos
ddtl(e^t/50qr)=110e^t/50 Longrightarrow e^t/50q=integral110e^t/50dt=5e^t/50+C
Daí a solução geral é
q(t)=5+Ce^-t/50

Passo 3

Usando q(0)=15 em q(0)=5+C, obtemos C=10. Logo
q(t)=5+10e^-t/50

Passo 4

Depois de 10 min,
q(10)=5+10e^-10/50=5+10e^-0,2
A concentração é
c(10)=q(10)5000
e, em porcentagem,
100,c(10)=5+10e^-0,250approx0,2637%

Passo 5

Queremos c(t)=0,2%, isto é q(t)=5000cdot0,002=10. Então
5+10e^-t/50=10 Longrightarrow e^-t/50=tfrac12 Longrightarrow t=50ln2approx34,7 min

Resposta

a) q(t)=5+10e^-t/50
b) Aproximadamente 0,2637%.
c) t=50ln2approx34,7 minutos

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