A concentração de
no ar de uma sala com capacidade de
é de
. Começa a ser bombeado para dentro da sala ar contendo
de
à razão de
por minuto. Após bem misturado, a mesma quantidade de ar deixa a sala. Assim, a quantidade
de
em cada instante satisfaz a equação
e a função concentração
de
é dada por
.
a) Determine a solução
do PVI.
b) Encontre a porcentagem de
na sala depois de 10 min .
c) Depois de quanto tempo será atingida uma concentração de
de
?
a) Determine a solução
b) Encontre a porcentagem de
c) Depois de quanto tempo será atingida uma concentração de
Passo 1
O problema trata do balanço de massa de
numa sala de volume
. Inicialmente a concentração é
, logo
Entra ar a
/min com
de
, isto é, afluência de
/min de
, e sai mistura à mesma vazão, com concentração
. Assim obtemos a EDO
e a concentração instantânea é
. Vamos resolver essa EDO linear.
Passo 2
Escrevendo
o fator integrante é
Multiplicando a EDO por
e integrando, temos
Daí a solução geral é
Passo 3
Usando
em
, obtemos
. Logo
Passo 4
Depois de
min,
A concentração é
e, em porcentagem,
Passo 5
Queremos
, isto é
. Então
Resposta
a)
b) Aproximadamente .
c)
b) Aproximadamente
c)