Questão : Considere a curva obtida pela interseção do paraboloide com o plano .
(a) Determine uma parametrização para ;
(b) Encontre a equação paramétrica da reta tangente à no ponto .
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. A questão fala sobre uma curva que é gerada pela interseção de um paraboloide, dado por , com um plano, que é . Temos duas partes para resolver:
a) Encontrar uma parametrização para a curva .
b) Encontrar a equação paramétrica da reta tangente à no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar entender como curvas são parametrizadas e como achar a reta tangente em um ponto específico usando cálculo.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): encontrar uma parametrização para a curva . Sabemos que é a interseção entre o paraboloide e o plano .
Primeiro, vamos substituir a expressão de do paraboloide na equação do plano para eliminar :
Simplificando isso:
Agora, vamos reorganizar os termos:
Essa é a equação de uma curva no plano . Para parametrizar, podemos escolher uma das variáveis como parâmetro. Vamos isolar em termos de ou escolher ou como nosso parâmetro .
Vamos optar por escolher como o parâmetro . Então, deixaremos .
Substituindo na equação:
Isso é uma equação quadrática em termos de . Podemos resolver para :
Usando a fórmula quadrática:
Para simplificar, vamos escolher .
Agora, lembrando que , podemos substituir e para encontrar :
Então, nossa parametrização será:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): encontrar a equação paramétrica da reta tangente à curva [\mathcal{C}) no ponto .
Primeiro, precisamos confirmar que pertence à curva . Substituindo , na equação do paraboloide:
E no plano:
Então, está realmente na curva .
Para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada da parametrização em relação a , que nos dá o vetor tangente à curva no ponto correspondente.
Vamos achar :
Derivando cada componente em relação a :
Então, o vetor tangente é:
Agora, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto .
Na nossa parametrização, .
Substituindo :
Tudo confere. Agora, calculamos o vetor tangente em :
Note que temos divisão por zero aqui, o que indica que a parametrização escolhida não é adequada para . Isso ocorre porque no nosso caso, escolher e obter em função de não funciona bem para , onde .
Vamos então tentar uma outra abordagem: parametrizar a curva usando como parâmetro.
Voltando à equação:
Vamos isolar :
Então, podemos escolher , e assim:
Simplificando a componente :
Então, a parametrização fica mais simples:
Agora, derivamos em relação a :
Então, o vetor tangente é:
Agora, encontramos o valor de para o ponto :
Agora, verificamos :
Tudo confere. Agora, calculamos o vetor tangente em :
Então, o vetor tangente no ponto é .
A equação paramétrica da reta tangente pode ser escrita usando o ponto e o vetor tangente:
Onde (\lambda] é o parâmetro.
Resposta
A parametrização da curva [\mathcal{C}) é e a equação paramétrica da reta tangente em é: