Questão 1(2,0) : Considere a curva C obtida pela interseção do paraboloide z=x^2+y^2 com o plano 2 x-z+8=0.
(a) Determine uma parametrização r(t) para C;
(b) Encontre a equação paramétrica da reta tangente à C no ponto P=(1,3,10).

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. A questão fala sobre uma curva C que é gerada pela interseção de um paraboloide, dado por z = x^2 + y^2, com um plano, que é 2x - z + 8 = 0. Temos duas partes para resolver:
a) Encontrar uma parametrização r(t) para a curva C.
b) Encontrar a equação paramétrica da reta tangente à C no ponto P = (1, 3, 10).
Para resolver isso, vamos precisar entender como curvas são parametrizadas e como achar a reta tangente em um ponto específico usando cálculo.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): encontrar uma parametrização para a curva C. Sabemos que C é a interseção entre o paraboloide z = x^2 + y^2 e o plano 2x - z + 8 = 0.
Primeiro, vamos substituir a expressão de z do paraboloide na equação do plano para eliminar z:
2x - (x^2 + y^2) + 8 = 0
Simplificando isso:
2x - x^2 - y^2 + 8 = 0 -x^2 + 2x - y^2 + 8 = 0
Agora, vamos reorganizar os termos:
x^2 - 2x + y^2 = 8
Essa é a equação de uma curva no plano xy. Para parametrizar, podemos escolher uma das variáveis como parâmetro. Vamos isolar y em termos de x ou escolher x ou y como nosso parâmetro t.
Vamos optar por escolher y como o parâmetro t. Então, deixaremos y = t.
Substituindo y = t na equação:
x^2 - 2x + t^2 = 8
Isso é uma equação quadrática em termos de x. Podemos resolver para x:
x^2 - 2x + (t^2 - 8) = 0
Usando a fórmula quadrática:
x = 2 pm raiz4 - 4 cdot 1 cdot (t^2 - 8)2 = 2 pm raiz4 - 4t^2 + 322 = 2 pm raiz36 - 4t^22 = 2 pm 2raiz9 - t^22 = 1 pm raiz9 - t^2
Para simplificar, vamos escolher x = 1 + raiz9 - t^2.
Agora, lembrando que z = x^2 + y^2, podemos substituir x e y = t para encontrar z:
z = (1 + raiz9 - t^2)^2 + t^2 = 1 + 2raiz9 - t^2 + (9 - t^2) + t^2 = 10 + 2raiz9 - t^2
Então, nossa parametrização será:
r(t) = (1 + raiz9 - t^2, t, 10 + 2raiz9 - t^2)

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): encontrar a equação paramétrica da reta tangente à curva [\mathcal{C}) no ponto .
Primeiro, precisamos confirmar que pertence à curva . Substituindo , na equação do paraboloide:
E no plano:
Então, está realmente na curva .
Para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada da parametrização em relação a , que nos dá o vetor tangente à curva no ponto correspondente.
Vamos achar :
Derivando cada componente em relação a :
Então, o vetor tangente é:
Agora, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto .
Na nossa parametrização, .
Substituindo :
Tudo confere. Agora, calculamos o vetor tangente em :
Note que temos divisão por zero aqui, o que indica que a parametrização escolhida não é adequada para . Isso ocorre porque no nosso caso, escolher e obter em função de não funciona bem para , onde .
Vamos então tentar uma outra abordagem: parametrizar a curva usando como parâmetro.
Voltando à equação:
Vamos isolar :
Então, podemos escolher , e assim:
Simplificando a componente :
Então, a parametrização fica mais simples:
Agora, derivamos em relação a :
Então, o vetor tangente é:
Agora, encontramos o valor de para o ponto :
Agora, verificamos :
Tudo confere. Agora, calculamos o vetor tangente em :
Então, o vetor tangente no ponto é .
A equação paramétrica da reta tangente pode ser escrita usando o ponto e o vetor tangente:
Onde (\lambda] é o parâmetro.

Resposta

A parametrização da curva [\mathcal{C}) é e a equação paramétrica da reta tangente em é:
onde (\lambda] é um parâmetro real.

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