Determine os valores de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
m)
m)
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de f(x,y)=sen x·cos y no retângulo aberto (-π,π)×(-π,π) e determinar onde ela tem máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso vamos precisar calcular o gradiente (para achar os pontos críticos) e depois usar o teste de Hessiana (segunda derivadas) para classificar cada ponto.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de primeiro ordem e achar onde elas se anulam. Temos
Precisamos resolver o sistema
Daí vêm as soluções:
- Se
então . Como , na equação força , logo . - Se
então . Como , força , logo .
Assim os pontos críticos são:
Passo 3
Agora calculamos as segundas derivadas para montar a Hessiana. Temos
O determinante da Hessiana é
Passo 4
Vamos avaliar
e classificar em cada ponto:
- Em
: . Logo
Comoe , é máximo local, com
- Em: dá
Como e , é mínimo local, com - Em
: dá
Como, são pontos de sela, com
Passo 5
Reunindo tudo, concluímos onde estão máximos, mínimos e selas da função dentro do domínio dado.
Resposta
Máximo local em
com valor
.
Mínimo local em com valor
.
Pontos de sela em e
, ambos com
.
Mínimo local em
Pontos de sela em