Determine os valores de máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
m) f(x, y)=sen x cos y, -pi

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de f(x,y)=sen x·cos y no retângulo aberto (-π,π)×(-π,π) e determinar onde ela tem máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso vamos precisar calcular o gradiente (para achar os pontos críticos) e depois usar o teste de Hessiana (segunda derivadas) para classificar cada ponto.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de primeiro ordem e achar onde elas se anulam. Temos
fx=partialpartial x(sin xcos y)=cos xcos y,
fy=partialpartial y(sin xcos y)=-sin xsin y
Precisamos resolver o sistema
cos xcos y=0,
-sin xsin y=0
Daí vêm as soluções:
  • Se cos x=0 então x=pmtfracpi2. Como sin xneq0, na equação sin xsin y=0 força sin y=0, logo y=0.
  • Se cos y=0 então y=pmtfracpi2. Como sin yneq0, força sin x=0, logo x=0.
    Assim os pontos críticos são:
(tfracpi2,0),;(-tfracpi2,0),;(0,tfracpi2),;(0,-tfracpi2)

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas para montar a Hessiana. Temos
fxx=-sin xcos y,
fyy=-sin xcos y,
fxy=partialpartial y(cos xcos y)=-cos xsin y
O determinante da Hessiana é
D=fxxfyy-(fxy)^2=( -sin xcos y)^2-(-cos xsin y)^2=sin^2xcos^2y-cos^2xsin^2y

Passo 4

Vamos avaliar fxx,D e classificar em cada ponto:
  • Em (tfracpi2,0): sin x=1,cos y=1,cos x=0,sin y=0. Logo fxx=-1, D=1>0
    Como D>0 e fxx<0, é máximo local, com f(tfracpi2,0)=1
    - Em (-tfracpi2,0): sin x=-1,cos y=1
    fxx=1, D=1>0Como D>0 e fxx>0, é mínimo local, com f(-tfracpi2,0)=-1
  • Em (0,pmtfracpi2): sin x=0,cos y=0,cos x=1,sin y=pm1 fxx=0, D=-1<0
    Como D<0, são pontos de sela, com f(0,pmtfracpi2)=0

Passo 5

Reunindo tudo, concluímos onde estão máximos, mínimos e selas da função dentro do domínio dado.

Resposta

Máximo local em (tfracpi2,0) com valor f=1.
Mínimo local em ( -tfracpi2,0) com valor f=-1.
Pontos de sela em (0,tfracpi2) e (0,-tfracpi2), ambos com f=0.

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