Questcĩo 1. Encontre os quatro primeiros termos da sequência das somas parciais e obtenha uma fórmula para S_{n} em termos de n. Determine se a série converge ou diverge e se converge, determine sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n-1}}\

Passo 1

O enunciado pede:
  • Encontrar os quatro primeiros termos da sequência das somas parciais da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n-1}}.
  • Obter uma fórmula para S_{n} (a soma parcial de ordem n) em termos de n.
  • Determinar se a série converge ou diverge; se convergir, calcular a soma.
Informações dadas:
  • A série é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n-1}}.
  • O termo geral (o n-ésimo termo da série) é \displaystyle a_n=\frac{2}{5^{n-1}}.

Passo 2

Vamos escrever os primeiros termos da série (os termos que somamos), calculando a_n para n=1,2,3,4.
  • Para n=1: a_1=\dfrac{2}{5^{1-1}}=\dfrac{2}{5^0}=\dfrac{2}{1}=2.
  • Para n=2: a_2=\dfrac{2}{5^{2-1}}=\dfrac{2}{5^1}=\dfrac{2}{5}.
  • Para n=3: a_3=\dfrac{2}{5^{3-1}}=\dfrac{2}{5^2}=\dfrac{2}{25}.
  • Para n=4: a_4=\dfrac{2}{5^{4-1}}=\dfrac{2}{5^3}=\dfrac{2}{125}.
Observação rápida: estes termos formam uma progressão geométrica com primeiro termo a=2 e razão r=\dfrac{1}{5}, porque cada termo é obtido multiplicando o anterior por 1/5.

Passo 3

Agora calculamos as somas parciais \displaystyle S_n=\sum_{k=1}^{n} a_k para n=1,2,3,4.
  • \displaystyle S_1=a_1=2.
  • \displaystyle S_2=a_1+a_2=2+\dfrac{2}{5}=\dfrac{10}{5}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{12}{5}.
  • \displaystyle S_3=a_1+a_2+a_3=\dfrac{12}{5}+\dfrac{2}{25}. Para somar usem denominador comum 25: \dfrac{12}{5}=\dfrac{60}{25}, então \displaystyle S_3=\dfrac{60}{25}+\dfrac{2}{25}=\dfrac{62}{25}.
  • \displaystyle S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=\dfrac{62}{25}+\dfrac{2}{125}. Com denominador comum 125: \dfrac{62}{25}=\dfrac{310}{125}, então \displaystyle S_4=\dfrac{310}{125}+\dfrac{2}{125}=\dfrac{312}{125}.
Se quiser visualizar em decimal: \displaystyle S_1=2,\; S_2=\dfrac{12}{5}=2{,}4,\; S_3=\dfrac{62}{25}=2{,}48,\; S_4=\dfrac{312}{125}=2{,}496.

Passo 4

Agora vou ensinar a fórmula geral das somas parciais de uma série geométrica — isso é crucial para a prova.
Se temos uma série geométrica cujo termos são a, ar, ar^2,\dots, o n-ésimo termo pode ser escrito como a r^{n-1}. A soma parcial S_n é
S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}.
A derivação clássica faz o seguinte: multiplica-se a soma por r e subtrai-se para eliminar termos:
rS_n = ar + ar^2 + \cdots + ar^{n},
subtraindo,
S_n - rS_n = a - ar^{n}.
Fatorando,
S_n(1-r)=a(1-r^{n}).
Logo, se r\neq 1,
\boxed{ \displaystyle S_n = \frac{a(1-r^{n})}{1-r}. }
Nessa fórmula:
  • a é o primeiro termo da sequência de termos da série,
  • r é a razão (o fator multiplicativo entre termos consecutivos),
  • n é o número de termos somados.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • Primeiro termo a=2.
  • Razão r=\dfrac{1}{5}.
Substituindo na fórmula:
\begin{aligned} S_n &= \frac{2\bigl(1-(\tfrac{1}{5})^{n}\bigr)}{1-\tfrac{1}{5}}\\[4pt] &= \frac{2\bigl(1-5^{-n}\bigr)}{\tfrac{4}{5}}\\[4pt] &= 2\cdot\frac{5}{4}\bigl(1-5^{-n}\bigr)\\[4pt] &= \frac{5}{2}\bigl(1-5^{-n}\bigr). \end{aligned}
Portanto a fórmula fechada para a soma parcial é
\boxed{ \displaystyle S_n = \frac{5}{2}\bigl(1-5^{-n}\bigr). }]

Passo 6

Agora determinamos se a série converge e, se sim, para qual valor.
Para uma série geométrica infinita com razão r, se |r|<1 então r^{n}\to 0 quando n\to\infty, e a soma infinita existe e é
\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}.
Aqui r=\tfrac{1}{5} tem |r|<1, então a série converge. Usando a fórmula limite na expressão de S_n,
\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{5}{2}\bigl(1-5^{-n}\bigr)=\frac{5}{2}\bigl(1-0\bigr)=\frac{5}{2}.
Também podemos obter direto pela fórmula a/(1-r):
\frac{a}{1-r}=\frac{2}{1-\tfrac{1}{5}}=\frac{2}{\tfrac{4}{5}}=\frac{5}{2}.
Conclusão: a série converge e sua soma é \dfrac{5}{2}.

Resposta

S_1=2
S_2=\dfrac{12}{5}
S_3=\dfrac{62}{25}
S_4=\dfrac{312}{125}
S_n=\dfrac{5}{2}\bigl(1-5^{-n}\bigr)
A série converge e \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{5^{n-1}}=\dfrac{5}{2}.

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