Questcĩo 1. Encontre os quatro primeiros termos da sequência das somas parciais e obtenha uma fórmula para
em termos de
. Determine se a série converge ou diverge e se converge, determine sua soma.
Passo 1
O enunciado pede:
- Encontrar os quatro primeiros termos da sequência das somas parciais da série
. - Obter uma fórmula para
(a soma parcial de ordem ) em termos de . - Determinar se a série converge ou diverge; se convergir, calcular a soma.
Informações dadas:
- A série é
. - O termo geral (o
-ésimo termo da série) é .
Passo 2
Vamos escrever os primeiros termos da série (os termos que somamos), calculando
para
.
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Observação rápida: estes termos formam uma progressão geométrica com primeiro termo
e razão
, porque cada termo é obtido multiplicando o anterior por
.
Passo 3
Agora calculamos as somas parciais
para
.
-
-
-
Para somar usem denominador comum : , então -
Com denominador comum : , então
Se quiser visualizar em decimal:
Passo 4
Agora vou ensinar a fórmula geral das somas parciais de uma série geométrica — isso é crucial para a prova.
Se temos uma série geométrica cujo termos são
, o
-ésimo termo pode ser escrito como
. A soma parcial
é
A derivação clássica faz o seguinte: multiplica-se a soma por
e subtrai-se para eliminar termos:
subtraindo,
Fatorando,
Logo, se
,
Nessa fórmula:
-
é o primeiro termo da sequência de termos da série, -
é a razão (o fator multiplicativo entre termos consecutivos), -
é o número de termos somados.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
- Primeiro termo
. - Razão
.
Substituindo na fórmula:
Portanto a fórmula fechada para a soma parcial é
Passo 6
Agora determinamos se a série converge e, se sim, para qual valor.
Para uma série geométrica infinita com razão
, se
então
quando
, e a soma infinita existe e é
Aqui
tem
, então a série converge. Usando a fórmula limite na expressão de
,
Também podemos obter direto pela fórmula
:
Conclusão: a série converge e sua soma é
.
Resposta
A série converge e