Uma concessionária de energia elétrica informa que 52 % das unidades domiciliares atendidas por ela estão classificadas como sendo de Baixa Renda. Selecionada uma amostra casual simples de 120 domicílios assistidos pela concessionária.
a) Obtenha a probabilidade de que a proporção de domicílios de Baixa Renda, na amostra, pertença ao intervalo [0,50 ; 0,54].
b) Determine a probabilidade de que pelo menos 78 domicílios, dentre os selecionados, sejam de Baixa Renda.

Passo 1

O enunciado diz que a concessionária tem proporção verdadeira de domicílios de Baixa Renda p=0,52 e que extraímos uma amostra de tamanho n=120.
a) Queremos
Pl(0,50 <= hat p <= 0,54r),
onde hat p é a proporção amostral.
b) Queremos
P(X >= 78),
onde X é o número de domicílios de Baixa Renda na amostra.

Passo 2

Pela Aproximação Normal à Binomial (ou pelo TLC para proporções), temos
hat p approx Nl(p,;sigmahat p^2r)
com
sigmahat p = raizp,(1-p)n = raiz0,52cdot0,48120 approx 0,0456

Passo 3

Calculamos os z-scores para os limites 0,50 e 0,54:
Z1 = 0,50 - 0,520,0456 approx -0,438, Z2 = 0,54 - 0,520,0456 approx 0,438

Passo 4

A probabilidade buscada em (a) é
P(0,50 <= hat p <= 0,54) = Phi(0,438) - Phi(-0,438) approx 0,669 - 0,331 = 0,338

Passo 5

Para (b), XsimBin(n=120,p=0,52) é aproximado por
X approx Nl(muX,sigmaX^2r), muX = n p = 62,4, sigmaX = raizn p(1-p) = raiz120cdot0,52cdot0,48approx5,472

Passo 6

Usamos correção de continuidade para P(X>=78):
P(X >= 78) approx Pl(X >= 77,5r) = P!l(Z >= 77,5 - 62,45,472r) = Pl(Z >= 2,76r)

Passo 7

Por tabela normal,
P(Z >= 2,76) = 1 - Phi(2,76) approx 1 - 0,9971 = 0,0029

Resposta

a) 0,338
b) 0,0029

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