Questão 13 - Uma carta tem 23 de chances de chegar ao destino correto. Se seis cartas são enviadas de forma independente, calcule a probabilidade de que pelo menos duas cheguem ao destino correto.
R: 716/729.

Passo 1

Opa, tranquilo? Então, o enunciado diz que cada carta tem probabilidade p = tfrac23 de chegar no destino certo e que enviamos n = 6 cartas de forma independente. A questão pede “a probabilidade de pelo menos duas cartas chegarem certo”.
Conteúdo: distribuição binomial.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é variável binomial e sua fórmula.
  • Aplicar a fórmula para calcular probabilidades de 0 e de 1 acerto.
  • Usar a regra do complemento para achar “pelo menos 2”.

Passo 2

Vamos modelar o número de cartas corretas como uma variável aleatória X com distribuição binomial, ou seja
X sim Bin(n=6,,p=tfrac23)
A fórmula geral é
P(X=k) ;=; binomnk;p^k,(1-p)^,n-k,
onde
binomnk ;=; n!k!,(n-k)!
é o número de jeitos de escolher quais k ensaios são sucesso, e 1-p = tfrac13 é a probabilidade de “falhar” (carta errada).

Passo 3

Como queremos P(X>=2), é mais tranquilo usar o complemento:
P(X>=2) ;=; 1 ;-; P(X<2) ;=; 1 ;-; l[P(X=0)+P(X=1)r]
Isso evita somar de k=2 até 6 e deixa a conta mais direta.

Passo 4

Calcular cada pedacinho:
  1. Para k=0:
P(X=0) = binom60(tfrac23)^0(tfrac13)^6 = 1cdot1cdot13^6 = 1729
  1. Para k=1:
P(X=1) = binom61(tfrac23)^1(tfrac13)^5 = 6cdottfrac23cdot13^5
Como 3^5=243, temos tfrac13^5=tfrac1243, então
tfrac23cdottfrac1243 = tfrac2729 longrightarrow 6cdottfrac2729 = tfrac12729

Passo 5

Juntando tudo no complemento:
P(X>=2) = 1 - l(tfrac1729 + tfrac12729r) = 1 - tfrac13729 = 729 - 13729 = 716729

Resposta

716729

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