(a) Verdadeiro ou Falso. Justifique formalmente suas respostas!!!
i) É possível que 3 vetores no
(\overrightarrow{\mathbb{R}^{3}}
) sejam linearmente dependentes e dois a dois linearmente independentes.
ii) Se dois vetores
(\vec{u}, \vec{v} \in \overrightarrow{\mathbb{R}^{2}}
) são linearmente dependentes, sempre existe
(k \in \mathbb{R}
) tal que
(\vec{u}=k \vec{v}
).
iii) Todo conjunto de vetores não nulos e dois a dois ortogonais em
(\overrightarrow{\mathbb{R}^{n}}
) é um conjunto linearmente independente
(b) Dados vetores
(\vec{u}, \vec{v} \in \overrightarrow{\mathbb{R}^{3}}
), demonstre que
(\vec{u} \times \vec{v}=0
) se e somente se
(\vec{u}
) e
(\vec{v}
) são linearmente dependentes

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte (a) a gente verifica três afirmativas sobre vetores em \mathbb{R}^n: dependência linear, independência a dois a dois e ortogonalidade. Na parte (b) a gente demonstra que, em \mathbb{R}^3, o produto vetorial \vec u \times \vec v é o vetor nulo se e somente se \vec u e \vec v são linearmente dependentes. Vamos usar definição de dependência/independência linear, propriedades do produto escalar e do produto vetorial.

Passo 2

Analisando (a)i): queremos saber se podem existir três vetores em \mathbb{R}^3 que sejam dependentes (isto é, existe combinação não trivial que dá zero) e ao mesmo tempo quaisquer dois deles sejam independentes. Isso é verdadeiro. Um exemplo clássico é
\vec e_1=(1,0,0),\quad \vec e_2=(0,1,0),\quad \vec e_3=\vec e_1+\vec e_2=(1,1,0).
Aqui \{\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3\} é dependente porque \vec e_3-\vec e_1-\vec e_2=0, mas qualquer par (\vec e_i,\vec e_j) não é colinear, logo é independente. Portanto a afirmativa é verdadeira.

Passo 3

Analisando (a)ii): em \mathbb{R}^2, se dois vetores \vec u,\vec v são linearmente dependentes, existe combinação \alpha\vec u+\beta\vec v=0 com (\alpha,\beta)\neq(0,0). Se \beta\neq0 então \vec u=-(\beta/\alpha)\,\vec v; se \alpha\neq0 então \vec v=-(\alpha/\beta)\,\vec u, de onde \vec u também é múltiplo escalar de \vec v. Mesmo que um seja o vetor nulo, basta escolher k=0. Logo sempre existe k\in\mathbb{R} tal que
\vec u=k\,\vec v. A afirmativa é verdadeira.

Passo 4

Analisando (a)iii): um conjunto de vetores não nulos \{\vec w_1,\dots,\vec w_m\} em \mathbb{R}^n que são ortogonais dois a dois satisfaz \vec w_i\cdot\vec w_j=0 para i\neq j. Se fizermos uma combinação \sum_i c_i\,\vec w_i=0 e tomarmos escalar de ambos os lados com \vec w_k, sobra
c_k\,\|\vec w_k\|^2 = 0,
e como \vec w_k\neq0 temos \|\vec w_k\|^2>0, logo c_k=0. Como vale para todo k, todos os coeficientes são zero e o conjunto é linearmente independente. A afirmativa é verdadeira.

Passo 5

Agora a parte (b). Primeiro, suponha \vec u\times\vec v=0. Pelo fato de
\|\vec u\times\vec v\| = \|\vec u\|\;\|\vec v\|\;\bigl|\sin\theta\bigr|,
isso implica \sin\theta=0, ou seja, o ângulo \theta entre \vec u e \vec v é 0 ou \pi. Portanto \vec u e \vec v são colineares e, portanto, linearmente dependentes.

Passo 6

Reciprocamente, se \vec u e \vec v são linearmente dependentes, existe \lambda\in\mathbb{R} tal que \vec v=\lambda\,\vec u. Então
\vec u\times\vec v=\vec u\times(\lambda\,\vec u) =\lambda\,(\vec u\times\vec u)=\lambda\,\vec 0=\vec 0.
Isso conclui a demonstração do “se e somente se”.

Resposta

(a)i) Verdadeiro.
(a)ii) Verdadeiro.
(a)iii) Verdadeiro.
(b) Demonstrado que \vec u\times\vec v=\vec 0 se e somente se \vec u e \vec v são linearmente dependentes.

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