(a) Dados P \in \mathbb{R}^{3} e \vec{v} \in \overrightarrow{\mathbb{R}^{3}}-\{\overrightarrow{0}\}, considere uma reta
\mathcal{R}=\left\{P+t \vec{v} \in \mathbb{R}^{3} ; t \in \mathbb{R}\right\}
Dados Q \in \mathbb{R}^{3} e \vec{w} \in \overrightarrow{\mathbb{R}^{3}}-\{\overrightarrow{0}\}, demonstre que \mathcal{R}=\{Q+t w ; t \in \mathbb{R}\} se e somente se Q \in \mathcal{R} e existe \lambda \in \mathbb{R}^{*} verificando { }_{1} w=\lambda v.
(b) Determine a reta \mathcal{R}^{\prime \prime} \subset \mathbb{E}^{3} que é perpendicular às retas
\begin{gathered} \mathcal{R}=\{(5,6,-3)+t(1,1,-1) ; t \in \mathbb{R}\} \\\ \mathcal{R}^{\prime}=\{(5,-1,-4)+s(1,-1,-3) ; s \in \mathbb{R}\} \end{gathered}
(c) Determine a única reta de \mathbb{E}^{3} que é perpendicular à reta \mathcal{R}=\{(3,4,-1)+t(1,1,-1) ; t \in \mathbb{R}\} e que passa pelo ponto $P=(4,0,-1).

Passo 1

O enunciado trata de três questões sobre retas em \mathbb{R}^3:
  • (a) mostrar quando duas representações paramétricas definem a mesma reta (uso de colinearidade de vetores e pertença).
  • (b) encontrar a reta comum perpendicular a duas retas dadas (uso de produto vetorial e condição de perpendicularidade via produto escalar).
  • (c) achar a reta perpendicular a uma reta dada que passe por um ponto externo (projeção ortogonal).

Passo 2

(a) “Se” parte. Suponha
\mathcal{R}=\{P+t\,\vec v:t\in\mathbb{R}\} =\{Q+t\,\vec w:t\in\mathbb{R}\}.
Tomando t=0 na segunda forma, Q\in\mathcal{R}. Além disso, todo ponto P+t_1\vec v também pode ser escrito como Q+t_2\vec w, logo \vec w deve ficar num mesmo subespaço unidimensional gerado por \vec v, i.e. existe \lambda\neq0 tal que
\vec w=\lambda\,\vec v.

Passo 3

(a) “Somente se” parte. Agora suponha que
  1. Q\in\mathcal{R}, ou seja existe t_0 tal que Q=P+t_0\vec v.
  2. \vec w=\lambda\,\vec v com \lambda\neq0.
    Então todo ponto da forma
Q+t\,\vec w = P+t_0\vec v + t\,(\lambda\vec v) = P + (t_0+\lambda t)\,\vec v
varre exatamente \{P + u\,\vec v : u\in\mathbb{R}\}=\mathcal{R}, pois u=t_0+\lambda t percorre \mathbb{R}. Logo as duas formas paramétricas coincidem.

Passo 4

(b) Denotemos
\mathcal{R}:\;(5,6,-3)+t\,\vec u, \vec u=(1,1,-1),
\mathcal{R}':\;(5,-1,-4)+s\,\vec v, \vec v=(1,-1,-3).
A reta comum perpendicular terá direção paralela a
\vec w \;=\;\vec u\times\vec v,
pois \vec w é ortogonal a \vec u e a \vec v.

Passo 5

Calculemos \vec w:
\vec w =(1,1,-1)\times(1,-1,-3) =(-4,2,-2).
Para achar os pontos A\in\mathcal{R} e B\in\mathcal{R}' que ligam-se por vetor paralelo a \vec w, escrevemos
A=(5,6,-3)+t\vec u,\quad B=(5,-1,-4)+s\vec v,
e exigimos B-A\parallel\vec w.

Passo 6

A condição de perpendicularidade de B-A\) a \(\vec u\) e a \(\vec v\) dá \[\begin{cases} \vec u\cdot\bigl((5,-1,-4)-(5,6,-3)+s\vec v - t\vec u\bigr)=0,\\\ \vec v\cdot\bigl((5,-1,-4)-(5,6,-3)+s\vec v - t\vec u\bigr)=0. \end{cases}
Chamando \Delta QP=(5,-1,-4)-(5,6,-3)=(0,-7,-1)\] e calculando produtos, chega-se ao sistema \[\begin{cases} -6 + 3s - 3t = 0,\\\\ 10 +11s - 3t = 0, \end{cases}\] cuja solução é \(s=-2, t=-4.

Passo 7

Substituindo em
A=(5,6,-3)+(-4)(1,1,-1)=(1,2,1),\quad B=(5,-1,-4)+(-2)(1,-1,-3)=(3,1,2).
Observa-se que B-A=(2,-1,1) é paralelo a \vec w. Assim a reta comum perpendicular é
\mathcal{R}''=\{(1,2,1)+\tau\,(2,-1,1)\;;\;\tau\in\mathbb{R}\}.

Passo 8

(c) Seja \mathcal{R}:\;(3,4,-1)+t\,(1,1,-1) e ponto P=(4,0,-1). Para a reta pedida, o ponto de interseção H em \mathcal{R} deve satisfazer
\bigl((3,4,-1)+t_0(1,1,-1)-P\bigr)\perp(1,1,-1).
Isto dá
(1,1,-1)\cdot\bigl((3,4,-1)-(4,0,-1)+t_0(1,1,-1)\bigr)=0 \;\Longrightarrow\;3+3t_0=0 \;\Rightarrow\;t_0=-1.

Passo 9

Logo
H=(3,4,-1)-1\,(1,1,-1)=(2,3,0),
e a reta que passa por P e é perpendicular a \mathcal{R} tem direção H-P=(-2,3,1). Portanto
\mathcal{R}_{\perp}=\{(4,0,-1)+\mu\,(-2,3,1)\;;\;\mu\in\mathbb{R}\}.

Resposta

(a) \mathcal{R}=\{Q+t\,\vec w\} sse Q\in\mathcal{R} e existe \lambda\neq0 tal que \vec w=\lambda\,\vec v.
(b) \displaystyle \mathcal{R}''=\{(1,2,1)+\tau\,(2,-1,1)\;;\;\tau\in\mathbb{R}\}.
(c) \displaystyle \mathcal{R}_{\perp}=\{(4,0,-1)+\mu\,(-2,3,1)\;;\;\mu\in\mathbb{R}\}.

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