Conclua sobre a convergência ou divergência da sequência \left\{a^{n}\right\}, nos seguintes casos.
a=1

Passo 1

O enunciado dá a sequência \{a^{n}\} com a=1 e pede para concluir se essa sequência converge ou diverge.
Informações importantes fornecidas:
  • A base do poder é a=1.
  • O termo geral da sequência é a^{n}, isto é, 1^{n} para n=1,2,3,\dots.

Passo 2

Vamos calcular explicitamente os termos da sequência quando a=1. Por definição de potência, 1^{n} é o produto de n fatores iguais a 1. Como multiplicar 1 por 1 qualquer número de vezes dá sempre 1, temos:
1^{n}=1\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Portanto a sequência é constante: os seus termos são 1,1,1,\dots.

Passo 3

Lembrete da definição precisa de convergência (vou explicar cada símbolo): uma sequência \{x_n\} converge para um número L se, para todo \varepsilon>0, existe um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|x_n-L|<\varepsilon.
Aqui: \varepsilon é qualquer tolerância positiva que escolhermos; N pode depender de \varepsilon; a condição diz que a partir de algum índice N todos os termos ficam a menos de \varepsilon de L.

Passo 4

Aplicando a definição à nossa sequência constante de termos 1, proponho L=1 como candidato a limite. Para qualquer \varepsilon>0 basta escolher, por exemplo, N=1 (qualquer N serve). Então para todo n\ge N temos:
|1^{n}-1|=|1-1|=0<\varepsilon.
Como a desigualdade é verdadeira para todo \varepsilon>0, a definição de convergência está satisfeita com L=1.

Passo 5

Interpretação e comentário prático: sequências constantes convergem sempre para o próprio valor constante. Aqui, como todos os termos valem 1, a sequência converge e o limite é 1. Não precisa de conta complicada na prova — basta mostrar que a diferença entre termo e candidato a limite é zero.

Resposta

A sequência converge e \lim_{n\to\infty}1^{n}=1.

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