Conclua sobre a convergência ou divergência da sequência
, nos seguintes casos.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
com
e pede para concluir se essa sequência converge ou diverge.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A base do poder é
. - O termo geral da sequência é
, isto é, para .
Passo 2
Vamos calcular explicitamente os termos da sequência quando
. Por definição de potência,
é o produto de
fatores iguais a
. Como multiplicar
por
qualquer número de vezes dá sempre
, temos:
Portanto a sequência é constante: os seus termos são
.
Passo 3
Lembrete da definição precisa de convergência (vou explicar cada símbolo): uma sequência
converge para um número
se, para todo
, existe um
tal que, para todo
,
Aqui:
é qualquer tolerância positiva que escolhermos;
pode depender de
; a condição diz que a partir de algum índice
todos os termos ficam a menos de
de
.
Passo 4
Aplicando a definição à nossa sequência constante de termos
, proponho
como candidato a limite. Para qualquer
basta escolher, por exemplo,
(qualquer
serve). Então para todo
temos:
Como a desigualdade é verdadeira para todo
, a definição de convergência está satisfeita com
.
Passo 5
Interpretação e comentário prático: sequências constantes convergem sempre para o próprio valor constante. Aqui, como todos os termos valem
, a sequência converge e o limite é
. Não precisa de conta complicada na prova — basta mostrar que a diferença entre termo e candidato a limite é zero.
Resposta
A sequência converge e
.