Conclua sobre a convergência das séries aplicando o critério da integral:
Passo 1
O enunciado pede para concluir sobre a convergência da série
usando o critério da integral. As informações dadas são exatamente os termos gerais da série: para cada
positivo temos o termo
. Não foi dada nenhuma outra condição nem figura — só a série acima.
Passo 2
Vou explicar o critério da integral (de forma prática e direta), porque preciso usá‑lo na resolução. O critério diz o seguinte, em palavras simples:
- Se
é uma função contínua, positiva e monotonicamente decrescente em para algum , e se , então a série converge se, e somente se, a integral imprópria converge.
Ou seja, a convergência da soma e da integral estão ligadas quando os termos vêm de uma função positiva e decrescente. Por isso, para aplicar o critério precisamos:
- Definir uma função
que coincida com os termos da série em pontos inteiros. - Verificar que
é positiva e contínua em um intervalo . - Verificar que
é decrescente a partir de algum . - Calcular ou avaliar a integral imprópria
. Se essa integral divergir, a série diverge; se a integral convergir, a série converge.
Passo 3
Defino a função
que satisfaz
para todo
. Agora verifico as hipóteses do critério:
- Positividade: para
tem-se e , logo . - Continuidade:
é quociente de polinômios e o denominador nunca é zero; assim é contínua para todo , em particular em .
Passo 4
Verifico que
é decrescente a partir de algum ponto. Calculo a derivada para checar monotonicidade:
O denominador
é sempre positivo. O sinal de
vem do numerador
. Observa‑se que
- se
então e portanto ; - se
o sinal pode ser positivo, mas isso não atrapalha o critério, que exige ser decrescente a partir de algum .
Como
, segue que para todo
temos
. Logo
é decrescente em
. Assim todas as hipóteses do critério da integral são satisfeitas a partir de
.
Passo 5
Aplicando o critério da integral, estudo a integral imprópria
Para calcular essa integral faço a substituição direta observando que a derivada de
é
. Assim um antiderivado é
Agora avalio a integral imprópria:
Isso dá
Como
quando
, a integral diverge para
.
Passo 6
Pelo critério da integral, como a integral imprópria
diverge, a série
também diverge. Acrescentar o termo
(que é finito) não muda a divergência: se a soma a partir de
diverge, a soma a partir de
também diverge.
Comentário pedagógico rápido: intuitivamente isso já era esperado, pois para
grande
e a série harmônica
diverge; a integral mostra isso rigorosamente.
Resposta
A série diverge.