Conclua sobre a convergência das séries aplicando o critério da integral:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+2}

Passo 1

O enunciado pede para concluir sobre a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+2}
usando o critério da integral. As informações dadas são exatamente os termos gerais da série: para cada n positivo temos o termo a_{n}=\dfrac{n}{n^{2}+2}. Não foi dada nenhuma outra condição nem figura — só a série acima.

Passo 2

Vou explicar o critério da integral (de forma prática e direta), porque preciso usá‑lo na resolução. O critério diz o seguinte, em palavras simples:
  • Se f é uma função contínua, positiva e monotonicamente decrescente em [N,\infty) para algum N, e se a_n=f(n), então a série \sum_{n=N}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria \int_N^{\infty} f(x)\,dx converge.
    Ou seja, a convergência da soma e da integral estão ligadas quando os termos vêm de uma função positiva e decrescente. Por isso, para aplicar o critério precisamos:
  1. Definir uma função f(x) que coincida com os termos da série em pontos inteiros.
  2. Verificar que f é positiva e contínua em um intervalo [N,\infty).
  3. Verificar que f é decrescente a partir de algum N.
  4. Calcular ou avaliar a integral imprópria \int_N^{\infty} f(x)\,dx. Se essa integral divergir, a série diverge; se a integral convergir, a série converge.

Passo 3

Defino a função
f(x)=\frac{x}{x^{2}+2},\qquad x\ge 1,
que satisfaz f(n)=\dfrac{n}{n^{2}+2} para todo n\in\mathbb{N}. Agora verifico as hipóteses do critério:
  • Positividade: para x\ge 1 tem-se x>0 e x^{2}+2>0, logo f(x)>0.
  • Continuidade: f é quociente de polinômios e o denominador x^{2}+2 nunca é zero; assim f é contínua para todo x\in\mathbb{R}, em particular em [1,\infty).

Passo 4

Verifico que f é decrescente a partir de algum ponto. Calculo a derivada para checar monotonicidade:
f'(x)=\frac{(x^{2}+2)\cdot 1 - x\cdot 2x}{(x^{2}+2)^{2}}=\frac{x^{2}+2-2x^{2}}{(x^{2}+2)^{2}}=\frac{2-x^{2}}{(x^{2}+2)^{2}}.
O denominador (x^{2}+2)^{2} é sempre positivo. O sinal de f'(x) vem do numerador 2-x^{2}. Observa‑se que
  • se x>\sqrt{2} então 2-x^{2}<0 e portanto f'(x)<0;
  • se 1\le x\le \sqrt{2} o sinal pode ser positivo, mas isso não atrapalha o critério, que exige ser decrescente a partir de algum N.
Como \sqrt{2}\approx 1,414, segue que para todo x\ge 2 temos f'(x)<0. Logo f é decrescente em [2,\infty). Assim todas as hipóteses do critério da integral são satisfeitas a partir de N=2.

Passo 5

Aplicando o critério da integral, estudo a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{x}{x^{2}+2}\,dx.
Para calcular essa integral faço a substituição direta observando que a derivada de x^{2}+2 é 2x. Assim um antiderivado é
\int \frac{x}{x^{2}+2}\,dx=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+2\bigr)+C.
Agora avalio a integral imprópria:
\int_{2}^{\infty}\frac{x}{x^{2}+2}\,dx=\lim_{R\to\infty}\int_{2}^{R}\frac{x}{x^{2}+2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\left[\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+2\bigr)\right]_{x=2}^{x=R}.
Isso dá
\lim_{R\to\infty}\frac{1}{2}\Bigl(\ln\bigl(R^{2}+2\bigr)-\ln(2^{2}+2)\Bigr) =\lim_{R\to\infty}\frac{1}{2}\ln\bigl(R^{2}+2\bigr)-\frac{1}{2}\ln 6.
Como \ln\bigl(R^{2}+2\bigr)\to\infty quando R\to\infty, a integral diverge para +\infty.

Passo 6

Pelo critério da integral, como a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{x}{x^{2}+2}\,dx
diverge, a série \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{n}{n^{2}+2} também diverge. Acrescentar o termo n=1 (que é finito) não muda a divergência: se a soma a partir de 2 diverge, a soma a partir de 1 também diverge.
Comentário pedagógico rápido: intuitivamente isso já era esperado, pois para n grande
\frac{n}{n^{2}+2}\sim\frac{n}{n^{2}}=\frac{1}{n},
e a série harmônica \sum 1/n diverge; a integral mostra isso rigorosamente.

Resposta

A série diverge.

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