(Concóide de Nicomedes) Seja d uma reta fixa (diretriz) e O um ponto fixo. Sejam A o pé da perpendicular a d passando por O e t uma semi-reta com origem O cortando d no ponto B. A partir desse ponto, marquemos um ponto P sobre t=O B com comprimento constante B P=b. O segmento B P pode ser tomado para a direita ou para a esquerda de B. A curva gerada por P quando t gira em torno de O denomina-se Concóide de Nicomedes ou concóide da reta.
Usando o item (i) determine um par de equações paramétricas para a Concóide de Nicomedes.

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da Concóide de Nicomedes, que é o lugar geométrico do ponto P construído assim: fixamos uma reta d e um ponto O, projetamos O ortogonalmente em d no ponto A (distância OA=a), e para cada semi-reta t de origem O que corta d em B marcamos em t um ponto P tal que BP=b, à direita ou à esquerda de B.
Vamos usar coordenadas cartesianas, geometria de interseção reta–reta e vetores unitários para obter as equações paramétricas em função de um ângulo theta que define a semi-reta t.

Passo 2

Escolhemos o sistema de tal forma que O=(0,0) e a reta d tenha equação
y = a,
de modo que o pé da perpendicular de O em d seja A=(0,a) e OA=a.

Passo 3

A semi-reta t faz um ângulo theta com o eixo x positivo, de modo que um ponto genérico em t pode ser escrito como
(tcostheta,;tsintheta), t>=0

Passo 4

O ponto B é a interseção de t com d. Como em B vale y=a, basta resolver
tsintheta = a Longrightarrow t = asintheta(sinthetaneq0)
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B=l(acottheta,;ar)

Passo 5

O vetor OB=(acottheta,a) tem norma
l|OBr| = raiz(acottheta)^2+a^2 = a|sintheta|,
portanto o vetor unitário na direção de OB é
u = OB|OB| = (costheta,;sintheta)
Então P está em B deslocado de comprimento b ao longo de u, podendo ser “para a direita” ou “para a esquerda”:
P = B pm b,u

Passo 6

Substituindo B e u obtemos as coordenadas de P como funções de theta:
x(theta) = acottheta pm bcostheta, y(theta) = a pm bsintheta,
com thetain(0,pi)cup(pi,2pi) para garantir sinthetaneq0.

Resposta

As equações paramétricas da Concóide de Nicomedes são, para cada ramo (sinal + ou -):
x(theta) = acottheta pm bcostheta,[6pt] y(theta) = a pm bsintheta, sintheta neq 0 ]

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