Sejam os subespaços:
Verifique se a soma
é soma direta.
Verifique se a soma
é soma direta.
Passo 1
O enunciado apresenta dois subespaços de
:
e pede para verificar se a soma
é direta. Em geral, a soma é direta se, e somente se,
. Vamos então encontrar
.
Passo 2
Para achar
Esse sistema reúne exatamente as duas condições que um vetor e a
.
Passo 3
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos
Substituindo
em
:
Logo toda solução do sistema é da forma
com
.
Passo 4
Concluímos que
que é uma reta não trivial. Em particular, contém vetores não nulos (por exemplo
). Portanto
e a soma
não é direta.
Resposta
A soma
não é direta, pois
contém vetores não nulos.