Sejam os subespaços:
W1=(x, y, z) in R^3 mid x-2 y+z=0
W2=(x, y, z) in R^3 mid x+2 y+5 z=0
Verifique se a soma W1+W2
é soma direta.

Passo 1

O enunciado apresenta dois subespaços de R^3:
W1 = (x,y,z)inR^3mid x - 2y + z = 0,
W2 = (x,y,z)inR^3mid x + 2y + 5z = 0,
e pede para verificar se a soma W1+W2 é direta. Em geral, a soma é direta se, e somente se, W1cap W2 = 0. Vamos então encontrar W1cap W2.

Passo 2

Para achar
Esse sistema reúne exatamente as duas condições que um vetor e a .

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos
(x+2y+5z) - (x - 2y + z) = 0 - 0 ;Longrightarrow; 4y + 4z = 0 ;Longrightarrow; y + z = 0 ;Longrightarrow; y = -,z
Substituindo y=-z em x - 2y + z = 0:
x - 2(-z) + z = 0 ;Longrightarrow; x + 2z + z = 0 ;Longrightarrow; x + 3z = 0 ;Longrightarrow; x = -,3z
Logo toda solução do sistema é da forma
(x,y,z) = l(-3z,,-z,,zr) = z,(-3,-1,1),
com zinR.

Passo 4

Concluímos que
W1cap W2 = ,z,(-3,-1,1)mid zinR,
que é uma reta não trivial. Em particular, contém vetores não nulos (por exemplo (-3,-1,1)). Portanto
W1cap W2neq0,
e a soma W1+W2 não é direta.

Resposta

A soma W1+W2 não é direta, pois W1cap W2 contém vetores não nulos.

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