Considere a transformação linear T: R^3 longrightarrow R^3 dada por
T(x, y, z)=(z, x-y, z)
(a) Determine uma base do núcleo de T.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^3to R^3 por
T(x,y,z) = (,z,;x - y,;z,)
e pede uma base do núcleo ker(T). Para isso usaremos a definição
ker(T)=vin R^3mid T(v)=0
e resolveremos o sistema homogêneo correspondente.

Passo 2

Pela definição,
ker(T)=(x,y,z)in R^3mid T(x,y,z)=(0,0,0)
Isso gera o sistema de equações
z=0, x - y = 0, z=0
Observe que as duas equações z=0 são idênticas.

Passo 3

Das equações concluímos
z=0 e x=y
Logo, todo vetor em ker(T) é da forma (t,t,0) com tin R. Assim ker(T) é um subespaço de dimensão 1.

Passo 4

Para formar uma base basta escolher um vetor gerador desse espaço, por exemplo (1,1,0).

Resposta

Uma base de ker(T) é (1,1,0).

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