Considere a transformação linear T: R^3 longrightarrow R^3 dada por
T(x, y, z)=(z, x-y, z)
(c) T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(z,;x-y,;z),
e pergunta se T é sobrejetora. Para isso precisamos verificar se, dado um vetor arbitrário l(b1,b2,b3r) em R^3, existe sempre (x,y,z) tal que
T(x,y,z)=(b1,b2,b3)

Passo 2

Escrevemos o sistema correspondente a
T(x,y,z)=(z,;x-y,;z)=(b1,b2,b3)
Isso gera três equações:
z = b1, x - y = b2, z = b3
Das duas primeiras e da última tiramos a condição de consistência.

Passo 3

Comparando z=b1 com z=b3, vemos que é preciso ter
b1=b3
para que haja solução. Se b1=b3, então podemos escolher
z=b1, x e y quaisquer tais que x-y=b2,
e assim encontramos infinitas soluções. Mas se b1neq b3, não existe pré-imagem.

Passo 4

Como nem todo vetor l(b1,b2,b3r) em R^3 satisfaz b1=b3, a imagem de T é o subespaço
(a,b,a)mid a,binR,
de dimensão 2. Logo ImTneqR^3 e, por isso, T não é sobrejetora.

Resposta

T não é sobrejetora, pois só atinge vetores cuja 1ª e 3ª coordenadas são iguais.

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