Seja A=[cc0 & 2 -1 & 3].
Encontre uma matriz não singular P tal que D=P^-1 A P seja diagonal. (De modo equivalente A=P D P^-1 ).

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A = 0 & 2 -1 & 3
ou seja, encontrar uma matriz invertível P tal que
D = P^-1 A P
seja diagonal. Para isso vamos usar o método de autovalores e autovetores.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A resolvendo
det(A - lambda I) = det -lambda & 2 -1 & 3 - lambda = (-lambda)(3-lambda) - (2)(-1) = lambda^2 - 3lambda + 2 = 0
As raízes são
lambda1 = 1, lambda2 = 2

Passo 3

Para resolvemos :
Tomamos o autovetor

Passo 4

Para resolvemos :
Tomamos o autovetor

Passo 5

Montamos a matriz de mudança de base P cujas colunas são v1 e v2:
P = 2 & 1 1 & 1
Como det P = 2cdot1 - 1cdot1 = 1 neq 0, P é invertível. O resultado da diagonalização é
D = P^-1 A P = 1 & 0 0 & 2

Resposta

A matriz P pode ser escolhida como
P = 2 & 1 1 & 1 ,
de modo que
D = P^-1 A P = 1 & 0 0 & 2

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