Um engenheiro elétrico realiza testes de qualidade em disjuntores industriais recém-fabricados. A probabilidade de um disjuntor apresentar falha no teste é de 5 \%. Se forem testados n=20 disjuntores.
(a) Qual é a probabilidade de exatamente 2 disjuntores apresentarem falha?
(b) Qual a probabilidade de no máximo 1 disjuntor falhar?
(c) Qual a probabilidade de pelo menos 3 disjuntores falharem?

Passo 1

O enunciado diz que testamos n=20 disjuntores e que cada um tem probabilidade p=0,05 de falhar. Precisamos achar probabilidades sobre o número de falhas em 20 testes, ou seja, usar o modelo de distribuição binomial.

Passo 2

Definimos a variável aleatória
X = \text{número de disjuntores que falham em 20 testes},ú
então
X \sim \mathrm{Binomial}(n=20,\;p=0,05).
A fórmula geral é
P(X=k) \;=\;\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.

Passo 3

(a) Para exatamente 2 falhas k=2 temos
P(X=2) =\binom{20}{2}\,(0,05)^{2}\,(0,95)^{18} =190\cdot0,0025\cdot0,95^{18} \approx0,1888.

Passo 4

(b) Para no máximo 1 falha usamos
P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1).
Calculamos
P(X=0)=(0,95)^{20}\approx0,3585,
P(X=1)=\binom{20}{1}\,0,05\,(0,95)^{19} =20\cdot0,05\cdot0,95^{19}\approx0,3776,
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P(X\le1)\approx0,3585+0,3776=0,7361.

Passo 5

(c) Para pelo menos 3 falhas usamos o complementar de X\le2:
P(X\ge3)=1-P(X\le2) =1-\bigl[P(0)+P(1)+P(2)\bigr].
Já temos P(0), P(1) e P(2)\approx0,1888, então
P(X\ge3)\approx1-(0,3585+0,3776+0,1888)=0,0751.

Resposta

(a) P(X=2)\approx0,1888
(b) P(X\le1)\approx0,7361
(c) P(X\ge3)\approx0,0751

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