Dois metais x e y são obtidos de dois tipos de minérios I e I I. De 100 Kg de I se obtém 3 gramas de x e 5 gramas de y e de 100 Kg de I I obtém-se 4 gramas de x e 2,5 gramas de y. Quantos quilos de minério de cada tipo serão necessários para se obter 72 gramas de x e 95 gramas de y, usando-se simultaneamente os dois minérios?

Passo 1

O enunciado trata de um problema de mistura em que dois tipos de minério ( I e II) produzem quantidades diferentes dos metais x e y. Queremos saber quantos quilos de cada minério são necessários para obter, juntos, 72 g de x e 95 g de y. O que vamos usar aqui é a modelagem por sistema linear: cada minério contribui com uma quantidade fixa de metais por quilo.

Passo 2

Vamos definir as variáveis
a = quantidade de minério (I) em kg, b = quantidade de minério (II) em kg éé
Como de 100 kg de I saem 3 g de x e de 100 kg de II saem 4 g de x, por quilo isso dá 0,03 g de x de I e 0,04 g de x de II. Logo, para obter 72 g de x temos
0,03a + 0,04b = 72
De modo semelhante, como sai 5 g de y de 100 kg de I (ou 0,05 g por kg) e 2,5 g de y de 100 kg de II (ou 0,025 g por kg), a condição para 95 g de y é
0,05a + 0,025b = 95

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos multiplicar cada equação por 100:
3a + 4b = 7200, 5a + 2,5b = 9500

Passo 4

Resolvendo por eliminação, multiplico a segunda equação por 2 para igualar o coeficiente de b ao da primeira:
10a + 5b = 19000
Agora subtraio da equação obtida a primeira:
(10a + 5b) - (3a + 4b) = 19000 - 7200 Longrightarrow 7a + b = 11800
Mas note que poderíamos eliminar b mais diretamente multiplicando a primeira por 1 e a segunda por 1, porém aqui seguimos este caminho para clareza. Isolando b:
b = 11800 - 7a
Substituo em 3a + 4b = 7200:
3a + 4(11800 - 7a) = 7200 Longrightarrow 3a + 47200 - 28a = 7200 Longrightarrow -25a = 7200 - 47200 = -40000 Longrightarrow a = 1600
Então
b = 11800 - 7cdot1600 = 11800 - 11200 = 600

Resposta

Serão necessários 1600 kg de minério I e 600 kg de minério II.

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