Dois metais e são obtidos de dois tipos de minérios e . De 100 Kg de se obtém 3 gramas de e 5 gramas de e de 100 Kg de obtém-se 4 gramas de e 2,5 gramas de . Quantos quilos de minério de cada tipo serão necessários para se obter 72 gramas de e 95 gramas de , usando-se simultaneamente os dois minérios?
Passo 1
O enunciado trata de um problema de mistura em que dois tipos de minério ( e ) produzem quantidades diferentes dos metais e . Queremos saber quantos quilos de cada minério são necessários para obter, juntos, g de e g de . O que vamos usar aqui é a modelagem por sistema linear: cada minério contribui com uma quantidade fixa de metais por quilo.
Passo 2
Vamos definir as variáveis
Como de kg de saem g de e de kg de saem g de , por quilo isso dá g de de e g de de . Logo, para obter g de temos
De modo semelhante, como sai g de de kg de (ou g por kg) e g de de kg de (ou g por kg), a condição para g de é
Passo 3
Para facilitar a resolução, vamos multiplicar cada equação por :
Passo 4
Resolvendo por eliminação, multiplico a segunda equação por 2 para igualar o coeficiente de b ao da primeira:
Mas note que poderíamos eliminar b mais diretamente multiplicando a primeira por 1 e a segunda por 1, porém aqui seguimos este caminho para clareza. Isolando b: