Num concurso público no qual participaram 20000 candidatos, a nota média foi 42 pontos e o desvio padrão 10 pontos. Numa amostra aleatória sem reposição de 196 participantes, qual a probabilidade de a média da amostra ser maior do que 41,36 pontos? Resp: 0,8159
Passo 1
Vamos lá! O problema fala sobre um concurso com 20.000 candidatos, onde a média das notas foi 42 pontos e o desvio padrão foi 10 pontos. Queremos descobrir, em uma amostra aleatória de 196 participantes, qual a probabilidade de a média dessa amostra ser maior que 41,36 pontos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre a distribuição da média amostral e o Teorema Central do Limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando temos uma grande quantidade de dados (neste caso, 196 participantes), a média das amostras tende a seguir uma distribuição normal, mesmo que a distribuição original não seja normal. Isso é graças ao Teorema Central do Limite.
Passo 3
Precisamos calcular o erro padrão da média, que nos diz o quanto a média da amostra pode variar em relação à média da população. A fórmula para o erro padrão (EP) é:
onde:
-
é o desvio padrão da população (10 pontos) -
é o tamanho da amostra (196)
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Então, o erro padrão é aproximadamente 0,714 pontos.
Passo 5
Agora, queremos achar a probabilidade de a média da amostra ser maior que 41,36 pontos. Para isso, vamos calcular o valor Z, que nos ajuda a entender quantos desvios padrão a nossa média está da média da população. A fórmula do Z é:
onde:
-
é a média da amostra (41,36 pontos) -
é a média da população (42 pontos)
Passo 6
Substituindo os valores:
Então, o valor Z é aproximadamente -0,897.
Passo 7
Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade associada a esse valor Z. O valor Z de -0,897 corresponde a uma probabilidade de aproximadamente 0,185. Como queremos a probabilidade de ser maior que 41,36, calculamos:
Resposta
A probabilidade de a média da amostra ser maior que 41,36 pontos é aproximadamente 0,8159.