Num concurso público no qual participaram 20000 candidatos, a nota média foi 42 pontos e o desvio padrão 10 pontos. Numa amostra aleatória sem reposição de 196 participantes, qual a probabilidade de a média da amostra ser maior do que 41,36 pontos? Resp: 0,8159

Passo 1

Vamos lá! O problema fala sobre um concurso com 20.000 candidatos, onde a média das notas foi 42 pontos e o desvio padrão foi 10 pontos. Queremos descobrir, em uma amostra aleatória de 196 participantes, qual a probabilidade de a média dessa amostra ser maior que 41,36 pontos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre a distribuição da média amostral e o Teorema Central do Limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando temos uma grande quantidade de dados (neste caso, 196 participantes), a média das amostras tende a seguir uma distribuição normal, mesmo que a distribuição original não seja normal. Isso é graças ao Teorema Central do Limite.

Passo 3

Precisamos calcular o erro padrão da média, que nos diz o quanto a média da amostra pode variar em relação à média da população. A fórmula para o erro padrão (EP) é:
EP = sigmaraizn
onde:
  • sigma é o desvio padrão da população (10 pontos)
  • n é o tamanho da amostra (196)

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
EP = 10raiz196 = 1014 approx 0,714
Então, o erro padrão é aproximadamente 0,714 pontos.

Passo 5

Agora, queremos achar a probabilidade de a média da amostra ser maior que 41,36 pontos. Para isso, vamos calcular o valor Z, que nos ajuda a entender quantos desvios padrão a nossa média está da média da população. A fórmula do Z é:
Z = barx - muEP
onde:
  • barx é a média da amostra (41,36 pontos)
  • mu é a média da população (42 pontos)

Passo 6

Substituindo os valores:
Z = 41,36 - 420,714 = -0,640,714 approx -0,897
Então, o valor Z é aproximadamente -0,897.

Passo 7

Agora, usamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade associada a esse valor Z. O valor Z de -0,897 corresponde a uma probabilidade de aproximadamente 0,185. Como queremos a probabilidade de ser maior que 41,36, calculamos:
P(Z > -0,897) = 1 - P(Z < -0,897) = 1 - 0,185 = 0,815

Resposta

A probabilidade de a média da amostra ser maior que 41,36 pontos é aproximadamente 0,8159.

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