Suponha que se saiba que em uma certa população humana uma proporção de pessoas igual a p = 0,08 (8%) seja cega para cores. Se fizermos uma amostragem aleatória de 150 indivíduos da população, qual a probabilidade de que a proporção de pessoas dessa amostra que seja cega para cores seja menor que 0,15? Resp: aproximadamente 99,9%

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um problema onde 8% da população é cega para cores. Queremos saber qual a chance, se pegarmos 150 pessoas de forma aleatória, de menos de 15% delas serem cegas para cores. Para resolver, vamos usar conceitos de probabilidade, especialmente sobre proporções em amostras.

Passo 2

Primeiro, identificamos a proporção conhecida da população, que é $ p = 0,08 $ (8%). A gente quer analisar a proporção na amostra, que chamamos de $ \hat{p} $.

Passo 3

A amostra tem 150 indivíduos, então $ n = 150 $. Queremos achar a probabilidade de $ \hat{p} < 0,15 $ (15%).

Passo 4

Para calcular essa probabilidade, vamos usar a aproximação normal da distribuição binomial, já que o tamanho da amostra é grande o suficiente. A distribuição da proporção amostral $ \hat{p} $ é aproximadamente normal com média $ \mu = p $ e desvio padrão $ \sigma = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} $.

Passo 5

Calculando a média:
mu = p = 0,08

Passo 6

Calculando o desvio padrão:
sigma = raiz0,08 times (1 - 0,08)150 = raiz0,08 times 0,92150 approx raiz0,0736150 approx raiz0,0004907 approx 0,02216

Passo 7

Agora, transformamos o valor que queremos (0,15) em um valor padronizado $ z $:
z

Passo 8

Usando a tabela da distribuição normal, verificamos a probabilidade de $ z < 3,16 $. Isso nos dá praticamente 99,9%.

Resposta

A probabilidade de que menos de 15% das 150 pessoas sejam cegas para cores é aproximadamente 99,9%.

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