O tempo de vida de certo componente mecânico tem média de 1200 horas e desvio padrão de 80 horas. Numa amostra aleatória de 64 desses componentes, achar a probabilidade de a média amostral:
diferir (em valor absoluto) no máximo 15 horas da média real Resp: 0,8664

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um componente mecânico cuja vida útil média é de 1200 horas, com um desvio padrão de 80 horas. Queremos saber qual a probabilidade de, em uma amostra de 64 desses componentes, a média das horas de vida esteja dentro de 15 horas acima ou abaixo dessa média real de 1200 horas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Distribuição Amostral da Média e a Teoria do Limite Central.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando pegamos uma amostra de 64 componentes, a média dessa amostra (chamada de média amostral, X̄) também tem uma distribuição própria. Segundo a Teoria do Limite Central, essa distribuição será aproximadamente normal, com média igual à média da população (1200 horas) e desvio padrão igual ao desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra.
Então, vamos calcular o desvio padrão da média amostral:
sigmabarX = sigmaraizn = 80raiz64 = 808 = 10 horas

Passo 3

Agora, queremos achar a probabilidade de a média amostral X̄ estar entre 1200 - 15 = 1185 horas e 1200 + 15 = 1215 horas. Isso significa que queremos calcular:
P(1185 <= barX <= 1215)
Para isso, vamos padronizar esses valores usando a fórmula do escore-z:
z = barX - musigmabarX
Vamos calcular os z para 1185 e 1215:
Para 1185 horas:
z = 1185 - 120010 = -1510 = -1,5
Para 1215 horas:
z = 1215 - 120010 = 1510 = 1,5

Passo 4

Com os valores de z calculados, queremos achar a probabilidade de z estar entre -1,5 e 1,5 na distribuição normal padrão. Isso é:
P(-1,5 <= z <= 1,5)
Consultando uma tabela da distribuição normal ou usando uma calculadora, sabemos que a probabilidade de z estar entre -1,5 e 1,5 é aproximadamente 0,8664.

Resposta

A probabilidade de a média amostral diferir no máximo 15 horas da média real é de aproximadamente 0,8664.

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