1. Num concurso de Redação, com 50 participantes - cada um representado um colégio de uma cidade - foram atribuídas as seguintes notas:
Nota 5 6 7 8 9
Frequência 6 13 20 7 4
Calcule a média, a mediana e o desvio padrão.

Passo 1

O enunciado fornece a distribuição de frequências de notas xi com respectivas frequências fi para i=1,dots,5:
c|ccccc xi & 5 & 6 & 7 & 8 & 9hline fi & 6 & 13 & 20 & 7 & 4
Queremos calcular a média aritmética bar x, a mediana e o desvio-padrão populacional sigma.

Passo 2

Para a média aritmética usamos
bar x=1Nsumi=1^5 xi,fi,
onde N=sumi fi=50. Calculando sum xi fi:
5cdot6 + 6cdot13 + 7cdot20 + 8cdot7 + 9cdot4 =30 + 78 + 140 + 56 + 36 = 340
Logo
bar x = 34050 = 6,8

Passo 3

Para a mediana, com N=50 (par), tomamos a média das observações de posição 25 e 26. As frequências acumuladas são:
6,;6+13=19,;19+20=39,dots
Como as posições 25 e 26 caem no intervalo da nota 7, a mediana é
tilde x = 7

Passo 4

O desvio-padrão populacional é
sigma = raiz1Nsumi=1^5 fi,(xi-bar x)^2
Calculando cada termo fi(xi-6,8)^2:
&(5-6,8)^2cdot6 = 3,24cdot6 = 19,44, &(6-6,8)^2cdot13 = 0,64cdot13 = 8,32, &(7-6,8)^2cdot20 = 0,04cdot20 = 0,80, &(8-6,8)^2cdot7 = 1,44cdot7 = 10,08, &(9-6,8)^2cdot4 = 4,84cdot4 = 19,36
A soma dá 58,00, então
sigma = raiz58,0050 = raiz1,16approx1,08

Resposta

Média bar x = 6,8
Mediana tilde x = 7
Desvio-padrão sigma approx 1,08

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