Em um concurso de talentos, 10 candidatos estão participando da final. O júri precisa escolher os três primeiros colocados, sendo que o 1^circ lugar ganhará um prêmio maior que o 2^circ lugar, e o 3^circ lugar receberá um prêmio menor que os dois primeiros. Como a ordem dos premiados importa, de quantas maneiras diferentes o júri pode definir os três vencedores?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como um júri pode escolher os três primeiros colocados em um concurso de talentos com 10 candidatos. O assunto aqui é Contagem de Permutações, que é uma parte da Combinatória na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como calcular situações onde a ordem importa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma permutação. Permutação é uma maneira de organizar um conjunto de objetos onde a ordem importa. No nosso caso, estamos organizando os três primeiros lugares entre 10 candidatos, e a ordem (1º, 2º, 3º) é importante porque cada posição tem um prêmio diferente.

Passo 3

A fórmula para calcular permutações de n elementos tomados de p em p é:
P(n, p) = n!(n - p)!
Aqui, “!” representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número. Por exemplo, 5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso problema, temos n = 10 candidatos e queremos escolher p = 3 lugares. Então, substituindo na fórmula:
P(10, 3) = 10!(10 - 3)! = 10!7!

Passo 5

Agora, vamos simplificar os fatoriais:
10! = 10 times 9 times 8 times 7! 10!7! = 10 times 9 times 8 times 7!7! = 10 times 9 times 8
Os 7! se cancelam.

Passo 6

Multiplicando os números:
10 times 9 = 90 90 times 8 = 720

Resposta

O júri pode definir os três vencedores de 720 maneiras diferentes.

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