Em um concurso de talentos, 10 candidatos estão participando da final. O júri precisa escolher os três primeiros colocados, sendo que o
lugar ganhará um prêmio maior que o
lugar, e o
lugar receberá um prêmio menor que os dois primeiros. Como a ordem dos premiados importa, de quantas maneiras diferentes o júri pode definir os três vencedores?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como um júri pode escolher os três primeiros colocados em um concurso de talentos com 10 candidatos. O assunto aqui é Contagem de Permutações, que é uma parte da Combinatória na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como calcular situações onde a ordem importa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma permutação. Permutação é uma maneira de organizar um conjunto de objetos onde a ordem importa. No nosso caso, estamos organizando os três primeiros lugares entre 10 candidatos, e a ordem (1º, 2º, 3º) é importante porque cada posição tem um prêmio diferente.
Passo 3
A fórmula para calcular permutações de n elementos tomados de p em p é:
Aqui, “!” representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número. Por exemplo,
.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso problema, temos n = 10 candidatos e queremos escolher p = 3 lugares. Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos simplificar os fatoriais:
Os
se cancelam.
Passo 6
Multiplicando os números:
Resposta
O júri pode definir os três vencedores de 720 maneiras diferentes.