Uma massa pesando 7 kg estica uma mola de 7,5 cm. A massa está presa a um amortecedor viscoso com constante de amortecimento de 30 N s / m. Se a massa é colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade para baixo de 7,5 cm / s, encontre sua posição s em qualquer instante t.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa–mola com amortecimento viscoso. Temos:
– massa m=7,kg
– a mola se estica 7,5,cm sob o peso da massa, logo pela Lei de Hooke usaremos k=mgDe<a x
– constante de amortecimento b=30, Ncdot s/m
– condição inicial: parte da posição de equilíbrio ( s(0)=0) com velocidade para baixo v(0)=7,5,cm/s
O conteúdo é equação diferencial de segunda ordem homogênea do tipo
m,s''(t)+b,s'(t)+k,s(t)=0,
que resolveremos encontrando a solução geral e aplicando as condições iniciais.

Passo 2

Calcular a constante da mola k. Convertendo a elongação para metros, De<a x=0,075,m, e usando g=9,8,m/ s^2:
k=m,gDe<a x =7cdot9,80,075 approx914,67 N/m

Passo 3

Escrevendo a equação do movimento:
7,s''+30,s'+914,67,s=0
Dividindo por 7:
s''+307,s'+914,677,s=0 Longrightarrow s''+4,2857,s'+130,667,s=0

Passo 4

A equação característica é
r^2+4,2857,r+130,667=0
Calculamos
omega0=raiz130,667approx11,43, b2m=3014approx2,143,
e o termo amortecido
omegad=raizomega0^2-l(b2mr)^2 =raiz130,667-2,143^2 approx11,23
Como omega0>tfrac b2m, o regime é subamortecido.

Passo 5

A solução geral no caso subamortecido é
s(t)=e^-tfracb2mtl(Ccos(omegad t)+Dsin(omegad t)r)
Usamos as condições iniciais:
s(0)=0 implica C=0.
s'(t)=e^-2,143tl[-2,143,Dsin(omegad t)+D,omegadcos(omegad t)r], então
s'(0)=D,omegad=v(0)=0,075 m/s Longrightarrow D=0,07511,23approx0,00668

Resposta

boxed s(t) =0,00668;e^-2,143,t,sinl(11,23,tr) (metros, t em s)

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