- Condição de contorno não-homogênea para a equação do Calor
Neste exercício, veremos uma abordagem utilizada para a resolução de um problema com condições de contorno não-homogêneas. Considere o problema:
a) Considere
. Explique porque a função satisfaz a EDP na primeira linha.
b) Encontre
de modo que as condições na terceira linha sejam satisfeitas.
c) Descreva qual a função
devemos colocar no problema auxiliar
de maneira que a função
seja solução do problema original. Descreva sua expressão.
b) Encontre
c) Descreva qual a função
Passo 1
O enunciado trata do problema de calor não–homogêneo
e pede para encontrar uma função afim
que elimine as condições de contorno, transformando em um problema auxiliar homogêneo para
. Vamos usar a ideia de solução estacionária (steady state) e a superposição
.
Passo 2
Para qualquer
temos
logo
ou seja,
satisfaz a mesma EDP
.
Passo 3
Impor as condições de contorno em
:
Da primeira vem
. Substituindo na segunda,
Passo 4
Definimos
. Queremos que
satisfaça
e no instante inicial
Assim,
Resposta
a) Porque para
temos
e
, logo
.
b) Das condições e
obtemos
c) No problema auxiliar homogêneo escolhemos
,
de modo que .
b) Das condições
c) No problema auxiliar homogêneo escolhemos
de modo que