• Condição de contorno não-homogênea para a equação do Calor
Neste exercício, veremos uma abordagem utilizada para a resolução de um problema com condições de contorno não-homogêneas. Considere o problema:
\begin{aligned} & u_{t}=K u_{x x} \operatorname{em}(0, L) \times(0, \infty) \\\ & u(x, 0)=f(x), \quad 0 \leq x \leq L ; \\\ & u(0, t)=T_{1}, u(L, t)=T_{2}, t \in[0, \infty), \quad T_{1}, T_{2} \in \mathbb{R} . \end{aligned}
a) Considere h(x)=\alpha x+\beta, \operatorname{com} \alpha, \beta \in \mathbb{R}. Explique porque a função satisfaz a EDP na primeira linha.
b) Encontre \alpha, \beta de modo que as condições na terceira linha sejam satisfeitas.
c) Descreva qual a função g(x) devemos colocar no problema auxiliar
\begin{aligned} & v_{t}=K v_{x x} \operatorname{em}(0, L) \times(0, \infty) \\\ & v(x, 0)=g(x), \quad 0 \leq x \leq L \\\ & v(0, t)=v(L, t)=0, \quad t \in[0, \infty) \end{aligned}
de maneira que a função u(x, t)=v(x, t)+h(x) seja solução do problema original. Descreva sua expressão.

Passo 1

O enunciado trata do problema de calor não–homogêneo
u_{t}=K\,u_{xx},\quad u(x,0)=f(x),\quad u(0,t)=T_{1},\;u(L,t)=T_{2},
e pede para encontrar uma função afim h(x)=\alpha x+\beta que elimine as condições de contorno, transformando em um problema auxiliar homogêneo para v(x,t). Vamos usar a ideia de solução estacionária (steady state) e a superposição u=v+h.

Passo 2

Para qualquer h(x)=\alpha x+\beta temos
h_{t}=0, \quad h_{xx}=0,
logo
h_{t}=K\,h_{xx}=0,
ou seja, h satisfaz a mesma EDP u_{t}=K\,u_{xx}.

Passo 3

Impor as condições de contorno em h:
h(0)=\beta=T_{1}, \quad h(L)=\alpha L+\beta=T_{2}.
Da primeira vem \beta=T_{1}. Substituindo na segunda,
\alpha L+T_{1}=T_{2} \quad\Longrightarrow\quad \alpha=\frac{T_{2}-T_{1}}{L}.

Passo 4

Definimos u(x,t)=v(x,t)+h(x). Queremos que v satisfaça
v_{t}=K\,v_{xx},\quad v(0,t)=0,\;v(L,t)=0,
e no instante inicial
u(x,0)=f(x)=v(x,0)+h(x) \quad\Longrightarrow\quad v(x,0)=g(x)=f(x)-h(x).
Assim,
g(x)=f(x)-\Bigl(\tfrac{T_{2}-T_{1}}{L}\,x+T_{1}\Bigr).

Resposta

a) Porque para h(x)=\alpha x+\beta temos h_{t}=0 e h_{xx}=0, logo h_{t}=K\,h_{xx}.
b) Das condições h(0)=T_{1} e h(L)=T_{2} obtemos
\displaystyle \beta=T_{1},\quad \alpha=\frac{T_{2}-T_{1}}{L}.
c) No problema auxiliar homogêneo escolhemos
\displaystyle g(x)=f(x)-\bigl(\tfrac{T_{2}-T_{1}}{L}\,x+T_{1}\bigr),
de modo que u(x,t)=v(x,t)+\bigl(\tfrac{T_{2}-T_{1}}{L}\,x+T_{1}\bigr).

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