Semanas XII, XIII, XIV e XV (aulas dos dias 29/05, 30/05, 06/05, 12/05, 13/05, 19/05 e 20/05):
  • Encontre a solução dos seguintes problemas:
    f) u_{t}=\frac{1}{4} u_{x x} em
    u(x, 0)=2 \sin \left(\frac{\pi}{2} x\right)-\sin (\pi x)+4 \sin (2 \pi x), \quad 0 \leq x \leq 2 ;
    u(0, t)=u(2, t)=0, \quad t \in[0, \infty).

Passo 1

O enunciado pede a solução de uma equação da difusão (calor)
u_{t} = \tfrac14\,u_{xx}
no intervalo 0\le x\le2, com condições de contorno homogêneas
u(0,t)=u(2,t)=0,
e condição inicial
u(x,0)=2\sin\Bigl(\tfrac\pi2 x\Bigr)-\sin(\pi x)+4\sin(2\pi x).
O método que vamos usar é separação de variáveis e expansão em séries de senos (autofunções do problema de Sturm–Liouville com Dirichlet).

Passo 2

Procuramos soluções da forma
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo em u_{t}=\tfrac14\,u_{xx} e dividindo por X\,T
\frac{T'}{\tfrac14\,T}=\frac{X''}{X}=-\lambda,
com \lambda>0 para obter decaimento no tempo e satisfazer X(0)=X(2)=0. O problema em x fica
X'' + \lambda\,X=0,\quad X(0)=0,\;X(2)=0,
cuja família de autofunções e autovalores é
X_n(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr), \quad \lambda_n = \bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)^{2}, \quad n=1,2,3,\dots
Em t temos
T_n'(t) + \tfrac14\,\lambda_n\,T_n(t)=0 \quad\Longrightarrow\quad T_n(t)=\exp\Bigl(-\tfrac14\,\lambda_n\,t\Bigr).

Passo 3

A solução geral é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\,e^{-\tfrac14\,\lambda_n t}\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}x\bigr).
Na inicial u(x,0) reconhecemos diretamente senos compatíveis com n=1,2,4:
\sin\!\bigl(\tfrac\pi2 x\bigr)\,(n=1),\quad \sin(\pi x)=\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi}{2}x\bigr)\,(n=2),\quad \sin(2\pi x)=\sin\!\bigl(\tfrac{4\pi}{2}x\bigr)\,(n=4).
Assim os coeficientes são
a_1=2,\quad a_2=-1,\quad a_4=4,
e a_n=0 para todo n\neq1,2,4.

Passo 4

Substituindo \lambda_n=(\tfrac{n\pi}{2})^2 em \exp(-\tfrac14\lambda_n t)=\exp(-\tfrac{n^2\pi^2}{16}\,t) e usando só os n não nulos, obtemos
u(x,t) =2\,e^{-\tfrac{\pi^2}{16}t}\,\sin\!\bigl(\tfrac\pi2 x\bigr) -1\cdot e^{-\tfrac{4\pi^2}{16}t}\,\sin(\pi x) +4\,e^{-\tfrac{16\pi^2}{16}t}\,\sin(2\pi x).
Simplificando os expoentes: \tfrac{4\pi^2}{16}=\tfrac{\pi^2}{4} e \tfrac{16\pi^2}{16}=\pi^2.

Resposta

u(x,t) =2\,e^{-\tfrac{\pi^2}{16}t}\,\sin\!\bigl(\tfrac\pi2 x\bigr) -\,e^{-\tfrac{\pi^2}{4}t}\,\sin(\pi x) +4\,e^{-\pi^2 t}\,\sin(2\pi x).

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