Semanas XII, XIII, XIV e XV (aulas dos dias 29/05, 30/05, 06/05, 12/05, 13/05, 19/05 e 20/05):
- Encontre a solução dos seguintes problemas:
f)
em
.
f)
Passo 1
O enunciado pede a solução de uma equação da difusão (calor)
no intervalo
, com condições de contorno homogêneas
e condição inicial
O método que vamos usar é separação de variáveis e expansão em séries de senos (autofunções do problema de Sturm–Liouville com Dirichlet).
Passo 2
Procuramos soluções da forma
Substituindo em
e dividindo por
dá
com
para obter decaimento no tempo e satisfazer
. O problema em
fica
cuja família de autofunções e autovalores é
Em
temos
Passo 3
A solução geral é
Na inicial
reconhecemos diretamente senos compatíveis com
:
Assim os coeficientes são
e
para todo
.
Passo 4
Substituindo
em
e usando só os
não nulos, obtemos
Simplificando os expoentes:
e
.