Semanas XII, XIII, XIV e XV (aulas dos dias 29/05, 30/05, 06/05, 12/05, 13/05, 19/05 e 20/05):
- Encontre a solução dos seguintes problemas:
h)
em
;
h)
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação do calor
com condição inicial
e condições de contorno de Neumann
O método é separação de variáveis usando expansão em cossenos (autofunções de Neumann) e depois determinar os coeficientes pela expansão em série de Fourier-cosseno.
Passo 2
Procuramos solução da forma
onde, devido às condições de contorno de Neumann,
e
são as autofunções.
Passo 3
O coeficiente constante
vem de
Passo 4
Para
, os coeficientes são
onde
. Fazendo a integral por partes e avaliando em
e
obtém-se, com
par,
, e com
ímpar
Passo 5
Portanto, a solução final é