Semanas XII, XIII, XIV e XV (aulas dos dias 29/05, 30/05, 06/05, 12/05, 13/05, 19/05 e 20/05):
  • Encontre a solução dos seguintes problemas:
    h) u_{t}=u_{x x} em (0,2) \times(0, \infty);
\begin{aligned} & u(x, 0)=x^{3}-3 x^{2}, \quad 0 \leq x \leq 2 \\\ & u_{x}(0, t)=u_{x}(2, t)=0, \quad t \in[0, \infty) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação do calor
u_{t}=u_{xx}\quad\text{em }(0,2)\times(0,\infty)
com condição inicial
u(x,0)=x^{3}-3x^{2},\quad 0\le x\le2
e condições de contorno de Neumann
u_{x}(0,t)=0,\quad u_{x}(2,t)=0,\quad t\ge0.
O método é separação de variáveis usando expansão em cossenos (autofunções de Neumann) e depois determinar os coeficientes pela expansão em série de Fourier-cosseno.

Passo 2

Procuramos solução da forma
u(x,t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\lambda_{n}t}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr),
onde, devido às condições de contorno de Neumann,
\lambda_{n}=\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr)^{2}\,,\qquad n=0,1,2,\dots
e \cos(n\pi x/2) são as autofunções.

Passo 3

O coeficiente constante a_{0} vem de
a_{0}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\bigl(x^{3}-3x^{2}\bigr)\,dx =\frac{1}{2}\Bigl[\tfrac{x^{4}}{4}-x^{3}\Bigr]_{0}^{2} =\frac{1}{2}(4-8)=-2.

Passo 4

Para n\ge1, os coeficientes são
a_{n} =\frac{2}{2}\int_{0}^{2}\bigl(x^{3}-3x^{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx =\int_{0}^{2}\bigl(x^{3}-3x^{2}\bigr)\cos\!\bigl(kx\bigr)\,dx,
onde k=\tfrac{n\pi}{2}. Fazendo a integral por partes e avaliando em 0 e 2 obtém-se, com n par, a_{n}=0, e com n ímpar
a_{n} =\frac{192}{n^{4}\pi^{4}}.

Passo 5

Portanto, a solução final é
\boxed{ u(x,t) =-2 +\sum_{\substack{n=1\n\text{ ímpar}}}^{\infty} \frac{192}{n^{4}\pi^{4}} \exp\!\Bigl(-\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)^{2}t\Bigr) \cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\Bigr). }

Resposta

u(x,t) =-2 +\sum_{m=0}^{\infty} \frac{192}{(2m+1)^{4}\pi^{4}} e^{-\bigl(\tfrac{(2m+1)\pi}{2}\bigr)^{2}t} \cos\!\Bigl(\tfrac{(2m+1)\pi x}{2}\Bigr).

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