• Encontre a solução dos seguintes problemas de corda infinita:
    a) u_{t t}=4 u_{x x}, x \in \mathbb{R}, t \in(0, \infty);
\begin{aligned} & u(x, 0)=e^{x}, \quad x \in \mathbb{R} ; & u_{t}(x, 0)=x+4, \quad x \in \mathbb{R} . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da onda numa corda infinita
u_{tt}=4\,u_{xx},\quad x\in\mathbb{R},\;t>0
com condições iniciais
u(x,0)=e^x,\qquad u_t(x,0)=x+4.
O que precisamos aplicar é a fórmula de d’Alembert para o caso c^2=4, ou seja c=2.

Passo 2

Identificamos
f(x)=u(x,0)=e^x,\qquad g(x)=u_t(x,0)=x+4,
e a fórmula de d’Alembert é
u(x,t)=\frac12\bigl(f(x+ct)+f(x-ct)\bigr)+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{\,x+ct}g(s)\,ds.
Aqui c=2.

Passo 3

Calculamos o termo médio envolvendo f:
\frac12\bigl(f(x+2t)+f(x-2t)\bigr) =\frac12\bigl(e^{\,x+2t}+e^{\,x-2t}\bigr) =e^x\;\frac{e^{2t}+e^{-2t}}{2} =e^x\operatorname{cosh}(2t).

Passo 4

Agora o termo integral envolvendo g:
\frac{1}{2c}\int_{x-2t}^{\,x+2t}(s+4)\,ds =\frac{1}{4}\Bigl[\frac{s^2}{2}+4s\Bigr]_{s=x-2t}^{\,x+2t}.
Avalia-se
\Bigl(\frac{(x+2t)^2}{2}+4(x+2t)\Bigr) -\Bigl(\frac{(x-2t)^2}{2}+4(x-2t)\Bigr) =4t\,(x+4),
logo o fator \tfrac14
\frac{1}{4}\,4t\,(x+4) =t\,(x+4).

Passo 5

Juntando os dois termos de d’Alembert, obtemos
u(x,t)=e^x\operatorname{cosh}(2t)+t\,(x+4).

Resposta

u(x,t)=e^x\operatorname{cosh}(2t)+t\,(x+4).

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