- Condição de contorno não-homogênea para a equação do Calor
Neste exercício, veremos uma abordagem utilizada para a resolução de um problema com condições de contorno não-homogêneas. Considere o problema:
\begin{aligned} & u_{t}=K u_{x x} \operatorname{em}(0, L) \times(0, \infty) \\\ & u(x, 0)=f(x), \quad 0 \leq x \leq L ; \\\ & u(0, t)=T_{1}, u(L, t)=T_{2}, t \in[0, \infty), \quad T_{1}, T_{2} \in \mathbb{R} . \end{aligned}
a) Considere
h(x)=\alpha x+\beta, \operatorname{com} \alpha, \beta \in \mathbb{R}. Explique porque a função satisfaz a EDP na primeira linha.
b) Encontre
\alpha, \beta de modo que as condições na terceira linha sejam satisfeitas.
c) Descreva qual a função
g(x) devemos colocar no problema auxiliar
\begin{aligned} & v_{t}=K v_{x x} \operatorname{em}(0, L) \times(0, \infty) \\\ & v(x, 0)=g(x), \quad 0 \leq x \leq L \\\ & v(0, t)=v(L, t)=0, \quad t \in[0, \infty) \end{aligned}
de maneira que a função
u(x, t)=v(x, t)+h(x) seja solução do problema original. Descreva sua expressão.