Seja E com produto interno lang<=, rang<= , defina a norma de um vetor u em E.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial E equipado com um produto interno lang<=,cdot,,,cdot,rang<= e pede para definirmos a norma de um vetor uin E. O conteúdo é a construção de uma norma a partir de um produto interno.

Passo 2

Lembrando que uma norma |cdot| em E deve satisfazer três propriedades para todo u,vin E e escalar alpha:
  1. Positividade: |u|>=0 e |u|=0 sse u=0.
  2. Homogeneidade: |alpha u|=|alpha|,|u|.
  3. Desigualdade triangular: |u+v|<=|u|+|v|.

Passo 3

No caso de um produto interno, definimos a norma de u por
|u| ;=;raizlang<= u,urang<=,

Passo 4

Veja como essa definição satisfaz as propriedades de norma:
– Positividade: como lang<= u,urang<=>=0 e só é zero quando u=0, segue |u|>=0 e |u|=0 sse u=0.
– Homogeneidade:
|alpha u| = raizlang<= alpha u,alpha urang<= = raiz|alpha|^2lang<= u,urang<= = |alpha|raizlang<= u,urang<= =|alpha||u|
– Triangular: a desigualdade de Cauchy–Schwarz
l|lang<= u,vrang<=r|<=|u||v|
implica
|u+v|^2 = lang<= u+v,u+vrang<= = |u|^2 +2Relang<= u,vrang<=+|v|^2 <= |u|^2+2|u||v|+|v|^2 =(|u|+|v|)^2,
de onde |u+v|<=|u|+|v|.

Resposta

|u| = raizlang<= u,urang<=,

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