Considere no espaço vetorial
das funções polinomiais com coeficientes em
o produto interno dado por
Seja
f in V fixado. Encontre o operador adjunto de
Tf: V longrightarrow V, Tf(p)=f cdot p
Passo 1
O enunciado define o espaço
V das funções polinomiais sobre
C com produto interno
e introduz o operador de multiplicação por um polinômio fixo
f ,
Queremos achar o operador adjunto
Tf^* .
Passo 2
Lembrando que, por definição, o adjunto
T^* de um operador
T satisfaz
para todo
p,qin V . Aqui
T=Tf .
Passo 3
Calculemos o lado esquerdo usando
Tf :
Passo 4
No integrando podemos agrupar
f(t),p(t),q(t) como
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Passo 5
Comparando com a definição do adjunto, concluímos que
ou seja,
Tf^* é o operador de multiplicação por
f .
Resposta
O adjunto de
Tf é