Considere no espaço vetorial V das funções polinomiais com coeficientes em C o produto interno dado por
lang<= p, qrang<==integral0^1 p(t) q(t) d t, para p, q in V
Seja f in V fixado. Encontre o operador adjunto de
Tf: V longrightarrow V, Tf(p)=f cdot p

Passo 1

O enunciado define o espaço V das funções polinomiais sobre C com produto interno
lang<= p,qrang<==integral0^1p(t),q(t),dt
e introduz o operador de multiplicação por um polinômio fixo f,
Tfcolon Vto V, Tf(p)=fcdot p
Queremos achar o operador adjunto Tf^*.

Passo 2

Lembrando que, por definição, o adjunto T^* de um operador T satisfaz
lang<= T(p),,qrang<==lang<= p,,T^*(q)rang<=
para todo p,qin V. Aqui T=Tf.

Passo 3

Calculemos o lado esquerdo usando Tf:
lang<= Tf(p),,qrang<= =integral0^1 l(f(t),p(t)r),q(t),dt

Passo 4

No integrando podemos agrupar f(t),p(t),q(t) como
f(t),p(t),q(t) =p(t),overlinef(t),q(t)
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lang<= Tf(p),,qrang<= =integral0^1p(t),overlinef(t),q(t),dt =lang<= p,,f,qrang<=

Passo 5

Comparando com a definição do adjunto, concluímos que
Tf^*(q)=f,cdot q,
ou seja, Tf^* é o operador de multiplicação por f.

Resposta

O adjunto de Tf é
Tf^*=Tf, Tf^*(p)=f,p

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