Ar, na condição padrão (
) escoa ao longo de uma placa plana. A velocidade da corrente livre, não-perturbada é
, a jusante da borda de ataque da placa, a espessura da camada limite é
. O perfil de velocidade neste local é
. Calcule a componente da força horizontal, por unidade de largura, requerida para manter para manter a placa estacionária.
Passo 1
O enunciado pede a componente da força horizontal, por unidade de largura, necessária para manter a placa estacionária no ponto a
da borda de ataque. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Densidade do ar:
. - Velocidade da corrente livre (não perturbada):
. - Em
a espessura da camada limite é . - Perfil de velocidade, no local indicado:
O que se pede: a força de arrasto (componente horizontal) total atuando na placa desde a aresta de ataque até
, por unidade de largura (ou seja, força por metro de largura, unidade
).
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada didaticamente): para uma placa plana com escoamento paralelo e sem gradiente de pressão externo, a força de arrasto por unidade de largura até a posição
pode ser obtida pela perda de momento causada pela camada limite. Essa perda de momento é medida pela chamada espessura de momento (momentum thickness)
, definida por
Intuição física:
mede a “quantidade de movimento” perdida devido à desaceleração do escoamento dentro da camada limite; quanto maior
, maior o arrasto acumulado até ali. A relação entre arrasto por unidade de largura
(força horizontal por unidade de largura) e
é
Vou, portanto, calcular
usando o perfil fornecido e depois aplicar essa fórmula para obter
. (Esta abordagem evita a necessidade de conhecer a viscosidade e permite cálculo direto a partir do perfil.)
Passo 3
Cálculo exato de
a partir do perfil dado. Defino a variável adimensional
então
e
A definição dá
Calculo primeiro
:
Agora
. Primeiro expandir
:
Integrando termo a termo:
Colocando em denominador comum (140):
logo
Portanto
Calculo da diferença com denominador comum (280):
então
Assim a espessura de momento é
Passo 4
Substituir
numericamente. Dado
:
Passo 5
Calcular a força de arrasto por unidade de largura:
Substituindo
,
(logo
) e o valor de
:
Fazendo a conta:
Arredondando com sensatez para três algarismos significativos: