Ar, na condição padrão ( \rho_{\mathrm{ar}}=1,24 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) escoa ao longo de uma placa plana. A velocidade da corrente livre, não-perturbada é \mathrm{U}_{0}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} . \mathrm{EmL}=145 \mathrm{~mm}, a jusante da borda de ataque da placa, a espessura da camada limite é \delta=2,3 \mathrm{~mm}. O perfil de velocidade neste local é \frac{u}{U_{o}}=\frac{3}{2} \frac{y}{\delta}-\frac{1}{2}\left[\frac{y}{\delta}\right]^{3}. Calcule a componente da força horizontal, por unidade de largura, requerida para manter para manter a placa estacionária.

Passo 1

O enunciado pede a componente da força horizontal, por unidade de largura, necessária para manter a placa estacionária no ponto a L=145\\ \mathrm{mm} da borda de ataque. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Densidade do ar: \rho_{\mathrm{ar}}=1{,}24\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}.
  • Velocidade da corrente livre (não perturbada): U_{0}=10\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
  • Em x=L=145\\ \mathrm{mm} a espessura da camada limite é \delta=2{,}3\\ \mathrm{mm}.
  • Perfil de velocidade, no local indicado:
\frac{u}{U_{0}}=\frac{3}{2}\frac{y}{\delta}-\frac{1}{2}\left(\frac{y}{\delta}\right)^{3}.
O que se pede: a força de arrasto (componente horizontal) total atuando na placa desde a aresta de ataque até x=L, por unidade de largura (ou seja, força por metro de largura, unidade \mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada didaticamente): para uma placa plana com escoamento paralelo e sem gradiente de pressão externo, a força de arrasto por unidade de largura até a posição x=L pode ser obtida pela perda de momento causada pela camada limite. Essa perda de momento é medida pela chamada espessura de momento (momentum thickness) \theta, definida por
\theta=\int_{0}^{\delta}\frac{u}{U_{0}}\left(1-\frac{u}{U_{0}}\right)\,dy.
Intuição física: \theta mede a “quantidade de movimento” perdida devido à desaceleração do escoamento dentro da camada limite; quanto maior \theta, maior o arrasto acumulado até ali. A relação entre arrasto por unidade de largura D' (força horizontal por unidade de largura) e \theta é
D'=\rho_{\mathrm{ar}}\,U_{0}^{2}\,\theta.
Vou, portanto, calcular \theta usando o perfil fornecido e depois aplicar essa fórmula para obter D'. (Esta abordagem evita a necessidade de conhecer a viscosidade e permite cálculo direto a partir do perfil.)

Passo 3

Cálculo exato de \theta a partir do perfil dado. Defino a variável adimensional
\eta=\frac{y}{\delta},\qquad 0\le \eta\le 1,
então dy=\delta\,d\eta e
\frac{u}{U_{0}}=f(\eta)=\frac{3}{2}\eta-\frac{1}{2}\eta^{3}.
A definição dá
\theta=\int_{0}^{\delta}\frac{u}{U_{0}}\Big(1-\frac{u}{U_{0}}\Big)\,dy =\delta\int_{0}^{1} \big[f(\eta)-f(\eta)^{2}\big]\,d\eta.
Calculo primeiro \displaystyle\int_{0}^{1} f(\eta)\,d\eta:
\int_{0}^{1} f(\eta)\,d\eta=\int_{0}^{1}\Big(\frac{3}{2}\eta-\frac{1}{2}\eta^{3}\Big)\,d\eta =\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} =\frac{3}{4}-\frac{1}{8}=\frac{5}{8}.
Agora \displaystyle\int_{0}^{1} f(\eta)^{2}\,d\eta. Primeiro expandir f^{2}:
f(\eta)^{2}=\Big(\frac{3}{2}\eta-\frac{1}{2}\eta^{3}\Big)^{2} =\frac{9}{4}\eta^{2}-\frac{3}{2}\eta^{4}+\frac{1}{4}\eta^{6}.
Integrando termo a termo:
\int_{0}^{1} f(\eta)^{2}\,d\eta =\frac{9}{4}\cdot\frac{1}{3}-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{7} =\frac{3}{4}-\frac{3}{10}+\frac{1}{28}.
Colocando em denominador comum (140):
\frac{3}{4}=\frac{105}{140},\quad -\frac{3}{10}=-\frac{42}{140},\quad \frac{1}{28}=\frac{5}{140},
logo
\int_{0}^{1} f(\eta)^{2}\,d\eta=\frac{105-42+5}{140}=\frac{68}{140}=\frac{17}{35}.
Portanto
\int_{0}^{1}\big[f(\eta)-f(\eta)^{2}\big]\,d\eta=\frac{5}{8}-\frac{17}{35}.
Calculo da diferença com denominador comum (280):
\frac{5}{8}=\frac{175}{280},\quad \frac{17}{35}=\frac{136}{280},
então
\frac{5}{8}-\frac{17}{35}=\frac{175-136}{280}=\frac{39}{280}.
Assim a espessura de momento é
\theta=\delta\cdot\frac{39}{280}.

Passo 4

Substituir \delta numericamente. Dado \delta=2{,}3\\ \mathrm{mm}=2{,}3\times10^{-3}\\ \mathrm{m}:
\theta=\frac{39}{280}\cdot 2{,}3\times10^{-3}\\ \mathrm{m} =3{,}203571429\times10^{-4}\\ \mathrm{m}\approx 3{,}204\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a força de arrasto por unidade de largura:
D'=\rho_{\mathrm{ar}}\,U_{0}^{2}\,\theta.
Substituindo \rho_{\mathrm{ar}}=1{,}24\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}, U_{0}=10\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} (logo U_{0}^{2}=100\\ \mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}) e o valor de \theta:
D' = 1{,}24\times 100 \times 3{,}203571429\times10^{-4}\\ \mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}.
Fazendo a conta:
D'\approx 0{,}039724\\ \mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}.
Arredondando com sensatez para três algarismos significativos:
D'\approx 0{,}0397\\ \mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}.

Resposta

D'=0{,}0397\\ \mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}

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