Determinar as seguintes taxas proporcionais:
4 \% a.t. é proporcional a qual taxa anual?

Passo 1

O enunciado dá uma taxa de 4\% a.t. e pede a qual taxa anual ela é proporcional. Informações dadas:
  • Taxa por período: 4\% (escrita como 4\% a.t.).
  • Período indicado por “t.”: trimestre (há 4 trimestres em 1 ano).
O que se pede: encontrar a taxa anual proporcional (ou seja, a taxa anual obtida por simples proporcionalidade com base na taxa trimestral).

Passo 2

Entendendo “taxas proporcionais” e fórmula usada.
Quando duas taxas são proporcionais entre si, significa que uma é obtida multiplicando a outra pelo número de períodos que cabem no intervalo maior, sem considerar capitalização composta. Em termos práticos, a taxa anual proporcional é a taxa por período multiplicada pelo número de períodos por ano.
Seja
r_{\text{per}}
a taxa por período (em forma percentual) e
m
o número de períodos iguais que existem em um ano. Então a taxa anual proporcional r_{\text{anual}} é dada por
r_{\text{anual}} = r_{\text{per}} \cdot m.
Aqui:
  • r_{\text{per}} é a taxa do período em forma decimal (por exemplo 4\% = 0,04), ou pode-se operar diretamente em porcentagem;
  • m é número de períodos por ano (para trimestre m=4).
Importante: isso é proporcionalidade simples — não é a mesma coisa que taxa anual equivalente considerando capitalização composta. Essa diferença será mostrada depois como aprendizado.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso dado.
Temos r_{\text{per}} = 4\% = 0,04 e m=4. Aplicando
r_{\text{anual}} = r_{\text{per}} \cdot m = 0,04 \cdot 4 = 0,16.
Convertendo para porcentagem:
0,16 = 16\%.

Passo 4

Verificação prática (exemplo numérico) e observação útil.
Se eu aplicar a taxa proporcional anual sobre um capital P, o juro simples em um ano será
J = P \cdot r_{\text{anual}} = P \cdot 0,16.
Ex.: para P=1000, J=1000\cdot0,16=160 reais de juros em um ano.
Comparação rápida com capitalização composta (só para entender a diferença): se a taxa de 4\% fosse aplicada e composta a cada trimestre, a taxa anual equivalente seria
(1+0,04)^4-1 \approx 1,1699-1 = 0,1699 \approx 16{,}99\%.
Ou seja, a taxa anual proporcional ( 16\%) é um cálculo linear; a taxa anual equivalente com capitalização composta seria cerca de 16{,}99\%. A questão, porém, pediu “proporcional”, então o resultado correto é o linear: 16\%.

Passo 5

Resumo final e ânimo: a conversão é direta e é um truque comum em provas — multiplica-se pela quantidade de períodos no ano. Força aí, você consegue!

Resposta

16\%\\ \text{ao ano}

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