Considere o espaço vetorial R^2 :
a) mostre que alpha=(1,0),(0,1) e beta=(1,1),(1,-1) são bases de R^2;
b) determine as coordenadas do vetor (3,4) em cada uma das bases.

Passo 1

O enunciado pede, em R^2, que mostremos que as famílias de vetores
alpha=(1,0),(0,1) e beta=(1,1),(1,-1) são bases de R^2 e, em seguida, que encontremos as coordenadas do vetor (3,4) em cada uma dessas bases.

Passo 2

Para provar que alpha é base, precisamos de duas coisas: independência linear e geração do espaço.
Considere a combinação
lambda1(1,0)+lambda2(0,1)=(0,0)
Comparando componentes obtemos o sistema
lambda1=0, lambda2=0
Logo lambda1=lambda2=0, o que mostra que alpha é linearmente independente.
Para gerar qualquer (x,y)in R^2 basta notar que
(x,y)=x,(1,0)+y,(0,1)
Como há dois vetores em R^2, concluímos que alpha é uma base.

Passo 3

Para beta, examine a combinação
mu1(1,1)+mu2(1,-1)=(0,0)
Comparando componentes, obtemos
mu1+mu2=0, mu1-mu2=0
Daí mu1=0 e mu2=0, mostrando independência linear.
Para ver que gera R^2, dados (x,y), resolvemos
mu1+mu2=x, mu1-mu2=y
Temos
mu1=x+y2, mu2=x-y2,
que existe para todo (x,y). Logo beta gera R^2 e, sendo dois vetores, é base.

Passo 4

Para expressar (3,4) em alpha, basta
(3,4)=3,(1,0)+4,(0,1)
Portanto, as coordenadas de (3,4) na base alpha são (3,4).

Passo 5

Para expressar (3,4) em beta, buscamos mu1,mu2 tais que
mu1(1,1)+mu2(1,-1)=(3,4)
Isto equivale ao sistema
mu1+mu2=3,
mu1-mu2=4
Somando, mu1=(3+4)/2=7/2. Subtraindo, mu2=(3-4)/2=-1/2.
Logo as coordenadas de (3,4) na base beta são l(tfrac72,-tfrac12r).

Resposta

As coordenadas de (3,4) em alpha são (3,4) e em beta são l(tfrac72,-tfrac12r).

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