Considere o espaço vetorial
:
a) mostre que
e
são bases de
;
b) determine as coordenadas do vetor
em cada uma das bases.
a) mostre que
b) determine as coordenadas do vetor
Passo 1
O enunciado pede, em
, que mostremos que as famílias de vetores
e
são bases de
e, em seguida, que encontremos as coordenadas do vetor
em cada uma dessas bases.
Passo 2
Para provar que
é base, precisamos de duas coisas: independência linear e geração do espaço.
Considere a combinação
Considere a combinação
Comparando componentes obtemos o sistema
Logo
, o que mostra que
é linearmente independente.
Para gerar qualquer basta notar que
Para gerar qualquer
Como há dois vetores em
, concluímos que
é uma base.
Passo 3
Para
, examine a combinação
Comparando componentes, obtemos
Daí
e
, mostrando independência linear.
Para ver que gera , dados
, resolvemos
Para ver que gera
Temos
que existe para todo
. Logo
gera
e, sendo dois vetores, é base.
Passo 4
Para expressar
em
, basta
Portanto, as coordenadas de
na base
são
.
Passo 5
Para expressar
em
, buscamos
tais que
Isto equivale ao sistema
Somando,
. Subtraindo,
.
Logo as coordenadas de na base
são
.
Logo as coordenadas de
Resposta
As coordenadas de
em
são
e em
são
.