Encontre a inclinação da tangente a r=\cos \theta no polo (\theta=\pi / 2).
Passo 1
O enunciado pede a inclinação da tangente à curva polar r=\cos\theta no polo quando \theta=\pi/2. Vou listar as informações que temos, extraídas diretamente do enunciado e de cálculos simples:
A curva é dada por r=\cos\theta.
No ponto indicado \theta=\pi/2 temos r\bigl(\pi/2\bigr)=\cos\bigl(\pi/2\bigr)=0. Ou seja, o ponto está no polo (origem).
A derivada de r em relação a \theta é r'(\theta)=\dfrac{dr}{d\theta}=-\sin\theta. Portantor'\bigl(\pi/2\bigr)=-\sin\bigl(\pi/2\bigr)=-1\neq 0.
As perguntas implícitas aqui são: qual é a inclinação (coeficiente angular dy/dx) da tangente no polo para \theta=\pi/2 e como interpretar esse resultado geometricamente.
Passo 2
Vou transformar a curva polar em coordenadas cartesianas paramétricas e explicar como obter a inclinação da tangente. Em coordenadas polares, as relações entre (r,\theta) e as coordenadas cartesianas (x,y) são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r depende de \theta (no nosso caso r=\cos\theta). Essas são equações paramétricas em que o parâmetro é \theta.
Para achar a inclinação da tangente em coordenadas cartesianas usamos a derivada dy/dx. Com parâmetro \theta, vale
Aqui vou explicar o cálculo de \dfrac{dx}{d\theta} e \dfrac{dy}{d\theta} usando a regra do produto: se u(\theta) e v(\theta) são funções, \dfrac{d}{d\theta}(u v)=u'v+uv'.
Aplicando isso a x=r(\theta)\cos\theta e y=r(\theta)\sin\theta:
Vou explicar cada termo: r'(\theta)\sin\theta vem da variação de r multiplicada por \sin\theta na derivada de y; r(\theta)\cos\theta vem da variação de \sin\theta multiplicada por r; termos semelhantes aparecem em dx/d\theta. Essa fórmula é a fórmula padrão para a derivada dy/dx de uma curva dada em polares.
Passo 4
Agora avalio essa expressão em \theta=\pi/2. Lembrando os valores que listei no Passo 1:
O numerador é -1 e o denominador é 0, portanto a derivada é indefinida (tende para infinito com sinal apropriado). Para entender geometricamente: \dfrac{dx}{d\theta}\big|_{\theta=\pi/2}=0 e \dfrac{dy}{d\theta}\big|_{\theta=\pi/2}=-1, isto é, o vetor velocidade paramétrico no polo tem componente x nula e componente y negativa — isso corresponde a uma tangente vertical que passa pelo polo, apontando para baixo quando o parâmetro \theta aumenta.
Também existe uma regra rápida: se em um ângulo \theta_0 temos r(\theta_0)=0 e r'(\theta_0)\neq 0, então a reta tangente no polo tem ângulo \theta_0 com o eixo x (isto é, inclinação \tan\theta_0), desde que \tan\theta_0 seja finita. No nosso caso \theta_0=\pi/2 e \tan\bigl(\pi/2\bigr) é infinito, confirmando a tangente vertical.
Passo 5
Interpretação final e resposta prática: a tangente no polo para \theta=\pi/2 é uma reta vertical que passa pela origem; em equação cartesiana essa reta é x=0. Em termos de inclinação (coeficiente angular) a inclinação é indefinida (ou “infinita”), o que significa geometricamente uma tangente vertical.