Sendo A=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 3 & 2\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\\\ -1 & 0\end{array}\right), calcular as matrizes X e Y no sistema \left\{\begin{array}{l}2 X+3 Y=B \\\\ 3 X+2 Y=A \text {. }\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}
e pede para encontrar as matrizes X\) e \(Y\) que satisfazem o sistema \[\begin{cases} 2X+3Y=B,\\[4pt] 3X+2Y=A. \end{cases}
As informações relevantes são exatamente as entradas de A\] e \(B e as duas equações matriciais acima. O objetivo é obter explicitamente X e Y.]

Passo 2

Vamos tratar X e Y como incógnitas num sistema linear com coeficientes escalares. Como as operações são lineares (multiplicação por escalar e soma de matrizes), podemos usar o método da eliminação para eliminar uma incógnita e resolver a outra.
Escrevendo as duas equações:
2X+3Y=B \tag{1}
3X+2Y=A \tag{2}
Multiplicando (1) por 2 e (2) por -3 para eliminar Y ao somar:
4X+6Y=2B
-9X-6Y=-3A
Somando as duas:
(4X-9X)+(6Y-6Y)=2B-3A \quad\Rightarrow\quad -5X=2B-3A.

Passo 3

Isolando X:
X = -\tfrac{1}{5}(2B-3A)=\tfrac{1}{5}(3A-2B).
Agora calculamos 3A e 2B explicitamente (pegando os dados das matrizes dadas):
3A = 3\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & -3 \\[4pt] 9 & 6\end{pmatrix}, \qquad 2B = 2\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -2 \\[4pt] -2 & 0\end{pmatrix}.
Subtraindo:
3A-2B = \begin{pmatrix}6 & -3 \\[4pt] 9 & 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 & -2 \\[4pt] -2 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & -1 \\[4pt] 11 & 6\end{pmatrix}.
Dividindo por 5 (multiplicando por \tfrac{1}{5}):
X = \tfrac{1}{5}\begin{pmatrix}6 & -1 \\[4pt] 11 & 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{6}{5} & -\tfrac{1}{5} \\[4pt] \tfrac{11}{5} & \tfrac{6}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora eliminamos X para achar Y. Multiplicamos (1) por -3 e (2) por 2:
-6X-9Y=-3B
6X+4Y=2A
Somando:
(-6X+6X)+(-9Y+4Y)=-3B+2A \quad\Rightarrow\quad -5Y=2A-3B.
Logo
Y = -\tfrac{1}{5}(2A-3B)=\tfrac{1}{5}(3B-2A).
Calculamos 3B e 2A:
3B = 3\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -3 \\[4pt] -3 & 0\end{pmatrix}, \qquad 2A = 2\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & -2 \\[4pt] 6 & 4\end{pmatrix}.
Subtraindo:
3B-2A = \begin{pmatrix}0 & -3 \\[4pt] -3 & 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 & -2 \\[4pt] 6 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 & -1 \\[4pt] -9 & -4\end{pmatrix}.
Dividindo por 5:
Y = \tfrac{1}{5}\begin{pmatrix}-4 & -1 \\[4pt] -9 & -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{4}{5} & -\tfrac{1}{5} \\[4pt] -\tfrac{9}{5} & -\tfrac{4}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): calcular 2X+3Y e 3X+2Y com as matrizes encontradas e conferir que dão B e A.
Calculando 2X+3Y:
2X = \begin{pmatrix}\tfrac{12}{5} & -\tfrac{2}{5} \\[4pt] \tfrac{22}{5} & \tfrac{12}{5}\end{pmatrix},\qquad 3Y = \begin{pmatrix}-\tfrac{12}{5} & -\tfrac{3}{5} \\[4pt] -\tfrac{27}{5} & -\tfrac{12}{5}\end{pmatrix},
2X+3Y = \begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix} = B.
Calculando 3X+2Y:
3X = \begin{pmatrix}\tfrac{18}{5} & -\tfrac{3}{5} \\[4pt] \tfrac{33}{5} & \tfrac{18}{5}\end{pmatrix},\qquad 2Y = \begin{pmatrix}-\tfrac{8}{5} & -\tfrac{2}{5} \\[4pt] -\tfrac{18}{5} & -\tfrac{8}{5}\end{pmatrix},
3X+2Y = \begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix} = A.
As verificações conferem, portanto as soluções estão corretas.]

Resposta

X=\begin{pmatrix}\tfrac{6}{5} & -\tfrac{1}{5} \\[4pt] \tfrac{11}{5} & \tfrac{6}{5}\end{pmatrix}
Y=\begin{pmatrix}-\tfrac{4}{5} & -\tfrac{1}{5} \\[4pt] -\tfrac{9}{5} & -\tfrac{4}{5}\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados