(Condições de Cauchy-Riemann) Verifique quais das funções abaixo são analíticas em seus domínios (Fonte: Arfken, Seção 6.2):
f(z)=x^{2}-y^{2}+2 i x y

Passo 1

O enunciado dá a função f expressa em coordenadas reais como
f(z)=x^{2}-y^{2}+2 i x y
e pede para verificar em quais pontos do domínio f é analítica.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável complexa é z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}.
  • A função está escrita em termos de x e y; podemos escrever f=u(x,y)+i v(x,y).
  • A pergunta é: em que conjunto de pontos f é analítica (ou seja, holomorfa)?

Passo 2

Primeiro vamos separar a parte real e a parte imaginária de f. Definindo
u(x,y)=x^{2}-y^{2},\qquad v(x,y)=2xy,
temos
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y).
Explicando o que significa ser analítica (didaticamente): uma função complexa é analítica num domínio aberto quando é complexamente diferenciável em todo ponto desse domínio. Uma condição prática e muito usada para verificar diferenciabilidade é o sistema de Cauchy–Riemann, que relaciona as derivadas parciais de u e v. Mas essa condição só é suficiente se u e v tiverem derivadas parciais contínuas na vizinhança do ponto.

Passo 3

Enunciado das equações de Cauchy–Riemann (explicando cada símbolo):
  • \dfrac{\partial u}{\partial x} é a derivada parcial de u em relação a x.
  • \dfrac{\partial u}{\partial y} é a derivada parcial de u em relação a y.
  • \dfrac{\partial v}{\partial x} e \dfrac{\partial v}{\partial y} são definidas analogamente.
As equações de Cauchy–Riemann são
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.
Se u e v têm derivadas parciais contínuas numa vizinhança de um ponto e satisfazem as equações acima nesse ponto, então f é complexamente diferenciável (analítica) naquela vizinhança.

Passo 4

Vamos calcular explicitamente as derivadas parciais de u e v. Lembre-se: tratar x e y como variáveis independentes.
Cálculos:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)=2x,
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)=-2y,
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy\bigr)=2y,
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy\bigr)=2x.

Passo 5

Agora verificamos as equações de Cauchy–Riemann com os resultados do passo anterior:
\frac{\partial u}{\partial x}=2x \quad\text{e}\quad \frac{\partial v}{\partial y}=2x,
logo \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y} é satisfeita para todo x,y.
\frac{\partial u}{\partial y}=-2y \quad\text{e}\quad -\frac{\partial v}{\partial x}=-2y,
logo \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x} também é satisfeita para todo x,y.
Além disso, u e v são polinômios em x e y, então suas derivadas parciais são funções contínuas em todo \mathbb{R}^2. Portanto, as hipóteses do teorema de Cauchy–Riemann (derivadas parciais contínuas + equações satisfeitas) estão atendidas em toda a parte.
Conclusão intermédiária: f satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em todo ponto e tem derivadas parciais contínuas em todo \mathbb{R}^2; assim f é analítica em todo o plano complexo.

Passo 6

Para reforçar e dar um jeito prático de ver isso na prova: observe que
z^{2}=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2i x y.
Portanto f(z)=z^{2}. Como z\mapsto z^{2} é um polinômio em z, é diferenciável em todo \mathbb{C} (polinômios são funções inteiras). Essa é uma validação rápida e elegante do mesmo resultado que obtivemos pelo método de Cauchy–Riemann.

Passo 7

Resumo didático de como aplicar isso numa prova (passo a passo que você pode copiar):
  1. Escreva f=u+iv e identifique u e v.
  2. Calcule \dfrac{\partial u}{\partial x},\dfrac{\partial u}{\partial y},\dfrac{\partial v}{\partial x},\dfrac{\partial v}{\partial y}.
  3. Verifique as equações de Cauchy–Riemann.
  4. Verifique que as derivadas parciais são contínuas na região de interesse (aqui são polinômios, logo contínuas).
  5. Conclua que f é analítica onde as condições forem satisfeitas (aqui: todo \mathbb{C}).
    Dica prática: se a função for reconhecível como um polinômio em z (por exemplo z^{2}), use isso para concluir rapidamente que é inteira.

Resposta

A função f é analítica em todo o plano complexo \mathbb{C}.

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