(Condições de Cauchy-Riemann) Verifique quais das funções abaixo são analíticas em seus domínios (Fonte: Arfken, Seção 6.2):
Passo 1
O enunciado dá a função
expressa em coordenadas reais como
e pede para verificar em quais pontos do domínio
é analítica.
Informações relevantes fornecidas:
- A variável complexa é
com . - A função está escrita em termos de
e ; podemos escrever . - A pergunta é: em que conjunto de pontos
é analítica (ou seja, holomorfa)?
Passo 2
Primeiro vamos separar a parte real e a parte imaginária de
. Definindo
temos
Explicando o que significa ser analítica (didaticamente): uma função complexa é analítica num domínio aberto quando é complexamente diferenciável em todo ponto desse domínio. Uma condição prática e muito usada para verificar diferenciabilidade é o sistema de Cauchy–Riemann, que relaciona as derivadas parciais de
e
. Mas essa condição só é suficiente se
e
tiverem derivadas parciais contínuas na vizinhança do ponto.
Passo 3
Enunciado das equações de Cauchy–Riemann (explicando cada símbolo):
-
é a derivada parcial de em relação a . -
é a derivada parcial de em relação a . -
e são definidas analogamente.
As equações de Cauchy–Riemann são
Se
e
têm derivadas parciais contínuas numa vizinhança de um ponto e satisfazem as equações acima nesse ponto, então
é complexamente diferenciável (analítica) naquela vizinhança.
Passo 4
Vamos calcular explicitamente as derivadas parciais de
e
. Lembre-se: tratar
e
como variáveis independentes.
Cálculos:
Passo 5
Agora verificamos as equações de Cauchy–Riemann com os resultados do passo anterior:
logo
é satisfeita para todo
.
logo
também é satisfeita para todo
.
Além disso,
e
são polinômios em
e
, então suas derivadas parciais são funções contínuas em todo
. Portanto, as hipóteses do teorema de Cauchy–Riemann (derivadas parciais contínuas + equações satisfeitas) estão atendidas em toda a parte.
Conclusão intermédiária:
satisfaz as equações de Cauchy–Riemann em todo ponto e tem derivadas parciais contínuas em todo
; assim
é analítica em todo o plano complexo.
Passo 6
Para reforçar e dar um jeito prático de ver isso na prova: observe que
Portanto
. Como
é um polinômio em
, é diferenciável em todo
(polinômios são funções inteiras). Essa é uma validação rápida e elegante do mesmo resultado que obtivemos pelo método de Cauchy–Riemann.
Passo 7
Resumo didático de como aplicar isso numa prova (passo a passo que você pode copiar):
- Escreva
e identifique e . - Calcule
. - Verifique as equações de Cauchy–Riemann.
- Verifique que as derivadas parciais são contínuas na região de interesse (aqui são polinômios, logo contínuas).
- Conclua que
é analítica onde as condições forem satisfeitas (aqui: todo ).
Dica prática: se a função for reconhecível como um polinômio em(por exemplo ), use isso para concluir rapidamente que é inteira.
Resposta
A função
é analítica em todo o plano complexo
.