1. Quais condições garantem a existência e unicidade da solução de um problema de valor inicial para uma EDO de segunda ordem?

Passo 1

O enunciado pergunta quais condições garantem existência e unicidade da solução de um problema de valor inicial (PVI) para uma EDO de segunda ordem. O conteúdo é o Teorema de Picard– Lindel"of aplicado a EDOs de segunda ordem, que normalmente se transforma num sistema de ordem um. Para resolver, vamos (a) reescrever a EDO como sistema de 1\textsuperscript{a} ordem e (b) aplicar o teorema de existência e unicidade.

Passo 2

Seja a EDO de segunda ordem escrita na forma
com condições iniciais
Definimos
com condições iniciais
(;y(x_0)=y_0,;v(x_0)=v_0.]

Passo 3

O Teorema de Picard– Lindel"of diz que, se existir um ret^angulo
D=(x,y,v)mid |x-x0|<= a,;|y-y0|<= b,;|v-v0|<= c
onde as fun\c{c}~oes
f(x,y,v), partial fpartial y(x,y,v), partial fpartial v(x,y,v)
sejam cont’inuas em D, ent~ao existe um h>0 tal que no intervalo [x0-h,x0+h] h’a uma \u{u}nica solu\c{c}~ao (y(x),v(x)) do sistema, e portanto de y''=f(x,y,y').

Passo 4

Em particular, para a EDO linear de segunda ordem
y''+p(x),y'+q(x),y = g(x),
basta que as funções
p(x),;q(x),;g(x)
sejam contínuas num intervalo que contenha x0. Isso garante que a forma reduzida
f(x,y,v)=g(x)-p(x),v - q(x),y
e suas parciais sejam contínuas, assegurando existência e unicidade globais na reta.

Resposta

As condi\c{c}~oes s~ao:
1. Escrever a EDO como
y'' = f(x,y,y'),
com condi\c{c}~oes iniciais ;y(x0)=y0,;y'(x0)=v0 2. Existir um ret^angulo
D=(x,y,v)mid |x-x0|<= a,;|y-y0|<= b,;|v-v0|<= c
em que f, partial f/partial y e partial f/partial v sejam cont’inuas.
Sob essas hip’oteses, pelo Teorema de Picard– Lindel"of, h’a exist’encia e unicidade da solu\c{c}~ao local do PVI.
No caso linear
y''+p(x)y'+q(x)y=g(x),
basta p, q e g cont’inuas num intervalo contendo x0.

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