- Quais condições garantem a existência e unicidade da solução de um problema de valor inicial para uma EDO de segunda ordem?
Passo 1
O enunciado pergunta quais condições garantem existência e unicidade da solução de um problema de valor inicial (PVI) para uma EDO de segunda ordem. O conteúdo é o Teorema de Picard– Lindel"of aplicado a EDOs de segunda ordem, que normalmente se transforma num sistema de ordem um. Para resolver, vamos (a) reescrever a EDO como sistema de
\textsuperscript{a} ordem e (b) aplicar o teorema de existência e unicidade.
Passo 2
Seja a EDO de segunda ordem escrita na forma
com condições iniciais
Definimos
com condições iniciais
(;y(x_0)=y_0,;v(x_0)=v_0.]
(;y(x_0)=y_0,;v(x_0)=v_0.]
Passo 3
O Teorema de Picard– Lindel"of diz que, se existir um ret^angulo
onde as fun\c{c}~oes
sejam cont’inuas em
, ent~ao existe um
tal que no intervalo
h’a uma \u{u}nica solu\c{c}~ao
do sistema, e portanto de
.
Passo 4
Em particular, para a EDO linear de segunda ordem
basta que as funções
sejam contínuas num intervalo que contenha
. Isso garante que a forma reduzida
e suas parciais sejam contínuas, assegurando existência e unicidade globais na reta.
Resposta
As condi\c{c}~oes s~ao:
com condi\c{c}~oes iniciais
. Existir um ret^angulo
em que
,
e
sejam cont’inuas.
Sob essas hip’oteses, pelo Teorema de Picard– Lindel"of, h’a exist’encia e unicidade da solu\c{c}~ao local do PVI.
No caso linear
basta
,
e
cont’inuas num intervalo contendo
.