- Descreva o método da variação dos parâmetros e sua principal vantagem em relação ao método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para descrever o método da variação dos parâmetros, usado para encontrar uma solução particular de uma equação diferencial linear não homogênea, e apontar sua principal vantagem em relação ao método dos coeficientes indeterminados. Vamos considerar aqui o caso típico de segunda ordem, mas o raciocínio geral vale para ordem
.
Passo 2
Primeiro, lembramos da solução geral da homogênea associada
cuja solução é
onde
formam um conjunto fundamental de soluções.
No método da variação dos parâmetros, em vez de constantes introduzimos funções
e propomos o ansatz
No método da variação dos parâmetros, em vez de constantes
Passo 3
Para determinar
onde e
e montar
A solução geral da equação não homogênea é
.
Passo 4
A principal vantagem desse método sobre os coeficientes indeterminados é que a variação dos parâmetros não exige que
seja de um tipo especial (polinomial, exponencial, seno ou cosseno). Ele funciona para qualquer função
para a qual as integrais de
e
possam ser calculadas.
Resposta
O método da variação dos parâmetros consiste em substituir as constantes da solução homogênea por funções a determinar, impor condições que geram um sistema para essas funções e integrar para obter a solução particular. Sua principal vantagem é que ele se aplica a qualquer termo não homogêneo
, enquanto os coeficientes indeterminados só funcionam quando
é de forma especial (polinômios, exponenciais, senos, cossenos ou combinações lineares desses).