1. Descreva o método da variação dos parâmetros e sua principal vantagem em relação ao método dos coeficientes indeterminados.

Passo 1

O enunciado pede para descrever o método da variação dos parâmetros, usado para encontrar uma solução particular de uma equação diferencial linear não homogênea, e apontar sua principal vantagem em relação ao método dos coeficientes indeterminados. Vamos considerar aqui o caso típico de segunda ordem, mas o raciocínio geral vale para ordem n.

Passo 2

Primeiro, lembramos da solução geral da homogênea associada
a2(x)y'' + a1(x)y' + a0(x)y = 0,
cuja solução é
yh(x) = C1,y1(x) + C2,y2(x),
onde y1,y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
No método da variação dos parâmetros, em vez de constantes C1,C2 introduzimos funções u1(x),u2(x) e propomos o ansatz
yp(x) = u1(x),y1(x) + u2(x),y2(x)

Passo 3

Para determinar
onde e e montar
A solução geral da equação não homogênea é .

Passo 4

A principal vantagem desse método sobre os coeficientes indeterminados é que a variação dos parâmetros não exige que g(x) seja de um tipo especial (polinomial, exponencial, seno ou cosseno). Ele funciona para qualquer função g(x) para a qual as integrais de u1' e u2' possam ser calculadas.

Resposta

O método da variação dos parâmetros consiste em substituir as constantes da solução homogênea por funções a determinar, impor condições que geram um sistema para essas funções e integrar para obter a solução particular. Sua principal vantagem é que ele se aplica a qualquer termo não homogêneo g(x), enquanto os coeficientes indeterminados só funcionam quando g(x) é de forma especial (polinômios, exponenciais, senos, cossenos ou combinações lineares desses).

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