1. O que é o método dos coeficientes indeterminados e para quais tipos de funções forçantes G(x) ele é aplicável?

Passo 1

O enunciado pergunta o que é o método dos coeficientes indeterminados e para quais tipos de funções forçantes G(x) ele se aplica. Esse método pertence à disciplina de equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes e serve para obter uma solução particular de uma equação não homogênea do tipo
L[y] = y^(n) + an-1y^(n-1) + cdots + a1 y' + a0 y = G(x)

Passo 2

A ideia central é adivinhar (postular) uma forma para a solução particular yp(x) que seja similar à G(x), mas com coeficientes indeterminados. Por exemplo, se G(x) é um polinômio de grau m, escolhe-se
yp(x) = Am x^m + Am-1x^m-1 + cdots + A1 x + A0,
onde A0,A1,dots,Am são constantes a determinar plugando yp na equação e igualando coeficientes.

Passo 3

O método funciona somente quando G(x) pertence à classe de funções cujas derivadas sucessivas não geram novas formas “fora de controle”. Em geral, vale para combinações lineares e produtos de três tipos básicos:
– polinômios em x,
– exponenciais e^alpha x,
– senos e cossenos sin(beta x), cos(beta x).
Isto inclui funções como
x^k, e^alpha x, sin(beta x), cos(beta x), x^k e^alpha x, e^alpha xsin(beta x),;dots

Passo 4

Se a forma ansatz de yp coincidir com alguma parte da solução geral da homogênea, dizemos que há ressonância, e então multiplica-se o palpite por x^s, onde s é o menor inteiro que elimina a coincidência. Por exemplo, se e^2x já está na solução homogênea, para G(x)=e^2x escolhe-se
yp(x)=x,A,e^2x
em vez de A,e^2x.

Passo 5

O método não funciona para forçantes que fogem dessa classe (por exemplo, logaritmos, funções racionais arbitrárias, funções especiais como Bessel, ou termos definidos por partes sem expansão em série), pois não há um palpite finito que gere exatamente essas formas pelas derivadas.

Resposta

O método dos coeficientes indeterminados consiste em postular uma solução particular yp(x) com a mesma forma de G(x) (polinomial, exponencial ou trigonométrica, ou produto deles), atribuir coeficientes desconhecidos, inserir na EDO e determinar esses coeficientes. Ele é aplicável unicamente quando G(x) é combinação de polinômios em x, exponenciais e^alpha x e senos/cossenos sin(beta x),cos(beta x) (e seus produtos), ajustando-se por fatores de x em caso de ressonância.

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