- O que é o método dos coeficientes indeterminados e para quais tipos de funções forçantes
ele é aplicável?
Passo 1
O enunciado pergunta o que é o método dos coeficientes indeterminados e para quais tipos de funções forçantes
ele se aplica. Esse método pertence à disciplina de equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes e serve para obter uma solução particular de uma equação não homogênea do tipo
Passo 2
A ideia central é adivinhar (postular) uma forma para a solução particular
que seja similar à
, mas com coeficientes indeterminados. Por exemplo, se
é um polinômio de grau
, escolhe-se
onde
são constantes a determinar plugando
na equação e igualando coeficientes.
Passo 3
O método funciona somente quando
pertence à classe de funções cujas derivadas sucessivas não geram novas formas “fora de controle”. Em geral, vale para combinações lineares e produtos de três tipos básicos:
– polinômios em ,
– exponenciais ,
– senos e cossenos ,
.
– polinômios em
– exponenciais
– senos e cossenos
Isto inclui funções como
Passo 4
Se a forma ansatz de
coincidir com alguma parte da solução geral da homogênea, dizemos que há ressonância, e então multiplica-se o palpite por
, onde
é o menor inteiro que elimina a coincidência. Por exemplo, se
já está na solução homogênea, para
escolhe-se
em vez de
.
Passo 5
O método não funciona para forçantes que fogem dessa classe (por exemplo, logaritmos, funções racionais arbitrárias, funções especiais como Bessel, ou termos definidos por partes sem expansão em série), pois não há um palpite finito que gere exatamente essas formas pelas derivadas.
Resposta
O método dos coeficientes indeterminados consiste em postular uma solução particular
com a mesma forma de
(polinomial, exponencial ou trigonométrica, ou produto deles), atribuir coeficientes desconhecidos, inserir na EDO e determinar esses coeficientes. Ele é aplicável unicamente quando
é combinação de polinômios em
, exponenciais
e senos/cossenos
(e seus produtos), ajustando-se por fatores de
em caso de ressonância.