Para garantir condições turbulentas e tempo mínimo de mistura durante a agitação com um impulsor de turbina, o número de Reynolds deve ser de pelo menos 10^{4}.
a) Um fermentador agitado em escala de laboratório com um impulsor de turbina de 5 cm de diâmetro é operado a 800 rpm . Se a densidade do caldo que está sendo agitado é próxima à da água, qual é o limite superior para a viscosidade da suspensão se a mistura adequada deve ser mantida? (Resp. \mu=3,3 \mathrm{cP} )
b) O sistema de mistura é ampliado para que o tanque e o impulsor tenham 15 vezes o diâmetro do equipamento de laboratório. O agitador no recipiente grande é operado de modo que a velocidade da ponta do agitador (velocidade da ponta \left(\mathrm{v}_{\text {tip }}\right)=\pi \mathrm{N}_{\mathrm{i}} \mathrm{D}_{\mathrm{i}} ) seja a mesma que no aparelho de laboratório. Como o aumento de escala afeta a viscosidade máxima permitida para manutenção de condições de mistura turbulenta? (Resp. \mu=50 \mathrm{cP} )

Passo 1

O enunciado trata de agitação de um fermentador com impulsor de turbina e exige que o número de Reynolds seja pelo menos 10^4 para garantir mistura turbulenta. Vamos usar a expressão do número de Reynolds em agitação:
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,N\,D^2}{\mu},
onde \rho é a densidade do fluido, N a rotação em s ^{-1}, D o diâmetro do impulsor e \mu a viscosidade dinâmica. Precisamos achar a viscosidade máxima \mu que satisfaça \mathrm{Re}\ge10^4.

Passo 2

Para o equipamento de laboratório temos:
\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, D=5\\ \mathrm{cm}=0,05\\ \mathrm{m}, N=800\\ \mathrm{rpm}=\tfrac{800}{60}\\ \mathrm{s^{-1}}\approx13{,}33\\ \mathrm{s^{-1}}. Impondo \mathrm{Re}=10^4 e isolando \mu, obtemos
\mu=\frac{\rho\,N\,D^2}{\mathrm{Re}}.

Passo 3

Substituindo os valores:
\mu =\frac{(1000)\,(13{,}33)\,(0,05)^2}{10^4} =\frac{1000\times13{,}33\times0,0025}{10^4} =\frac{33{,}33}{10^4} =0{,}003333\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Convertendo para centipoise ( 1\\ \mathrm{Pa\cdot s}=1000\\ \mathrm{cP}):
\mu\approx3{,}3\\ \mathrm{cP}.

Passo 4

Agora ampliamos para D_{\text{grande}}=15\times0,05=0,75\\ \mathrm{m}, mantendo a velocidade de ponta igual. Como
v_{\text{tip}}=\pi\,N_{\text{lab}}\,D_{\text{lab}} =\pi\,N_{\text{grande}}\,D_{\text{grande}},
segue que
N_{\text{grande}} =N_{\text{lab}}\frac{D_{\text{lab}}}{D_{\text{grande}}} =13{,}33\frac{0,05}{0,75} \approx0{,}8889\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Para manter \mathrm{Re}=10^4 no reator grande, aplicamos novamente
\mu =\frac{\rho\,N_{\text{grande}}\,D_{\text{grande}}^2}{10^4} =\frac{1000\times0{,}8889\times(0,75)^2}{10^4} =\frac{1000\times0{,}8889\times0,5625}{10^4} =\frac{500}{10^4} =0{,}05\\ \mathrm{Pa\cdot s},
ou seja,
\mu\approx50\\ \mathrm{cP}.

Resposta

a) \mu\approx3{,}3\\ \mathrm{cP}.
b) \mu\approx50\\ \mathrm{cP}.

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