Dê um exemplo de:
(f) um operador diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de operador linear diagonalizável. O conteúdo é diagonalização: mostrar que existe uma base de autovetores equivalendo a polinômio mínimo com raízes simples.

Passo 2

Considere o operador Tcolon R^2 to R^2 cuja matriz na base padrão é
A = 2 & 0 0 & 3
O polinômio característico de A é
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = (2 - lambda)(3 - lambda),
cujo conjunto de raízes é 2,3, duas raízes distintas.

Passo 3

Os espaços próprios são
E2 = (x,0)mid xinR, E3 = (0,y)mid yinR
Os vetores (1,0) e (0,1) são autovetores associados a 2 e 3 respectivamente e formam uma base de R^2.
Como existe uma base de autovetores de T, concluímos que T é diagonalizável.

Resposta

Um exemplo de operador diagonalizável é
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (2x,3y),
cuja matriz na base padrão é 2&00&3.

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