Em que condições sobre as constantes , e o sistema
tem uma única solução? Não tem solução? Tem infinitas soluções?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de três equações com três incógnitas: , e . A gente vai falar sobre sistemas lineares e ver em que situações esse sistema tem uma única solução, nenhuma solução ou infinitas soluções. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e condições de consistência. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema que a gente tem:
Aqui, , e são constantes que vamos analisar para ver como elas afetam as soluções do sistema.
Passo 3
Para entender as soluções desse sistema, vamos olhar para a matriz dos coeficientes e calcular o seu determinante. A matriz dos coeficientes é:
O determinante dessa matriz, denotado por |A|, nos ajuda a saber se o sistema tem uma solução única ou não.
Quando o determinante da matriz dos coeficientes |A| é diferente de zero (|A| neq 0), o sistema tem uma única solução. Mas aqui, |A| = 0, o que significa que o sistema pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções. Para decidir entre essas duas possibilidades, precisamos analisar mais a fundo.
Passo 6
Vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os termos constantes a, b e c:
2 & -1 & 3 & | & a 1 & 2 & 1 & | & b 7 & 4 & 9 & | & c
A consistência do sistema depende do posto (número de linhas não nulas) da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada. Se o posto da matriz aumentada for igual ao posto da matriz dos coeficientes, o sistema é consistente (tem solução). Se o posto da matriz aumentada for maior, o sistema é inconsistente (não tem solução).
Passo 7
Como |A| = 0, o posto da matriz dos coeficientes é menor que 3. Vamos verificar as condições para a matriz aumentada:
Para que o sistema tenha infinitas soluções, os termos constantes a, b e c devem estar dentro do mesmo plano determinado pelas primeiras duas equações. Isso significa que c deve ser tal que a terceira equação seja combinação linear das duas primeiras.
Para que não tenha solução, c deve estar fora desse plano.
Passo 8
Vamos expressar a terceira equação como uma combinação das duas primeiras:
7x + 4y + 9z = k(2x - y + 3z) + m(x + 2y + z)
Resolvendo isso para achar k e m, e depois igualando aos termos constantes, vamos determinar as condições em a, b e c.
Passo 9
Após resolver as equações, encontramos que para o sistema ter infinitas soluções, a constante c deve satisfazer a relação:
c = 5a + 3b
Se c neq 5a + 3b, então o sistema é inconsistente e não tem solução.
Resposta
Resumindo:
Infinitas soluções: Quando c = 5a + 3b.
Nenhuma solução: Quando c neq 5a + 3b.
Uma única solução: Nunca, pois o determinante é sempre zero.