Em que condições sobre as constantes a, b e c o sistema
2 x-y+3 z & =a x+2 y+z & =b 7 x+4 y+9 z & =c
tem uma única solução? Não tem solução? Tem infinitas soluções?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de três equações com três incógnitas: x, y e z. A gente vai falar sobre sistemas lineares e ver em que situações esse sistema tem uma única solução, nenhuma solução ou infinitas soluções. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e condições de consistência. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema que a gente tem:
2x - y + 3z &= a x + 2y + z &= b 7x + 4y + 9z &= c
Aqui, a, b e c são constantes que vamos analisar para ver como elas afetam as soluções do sistema.

Passo 3

Para entender as soluções desse sistema, vamos olhar para a matriz dos coeficientes e calcular o seu determinante. A matriz dos coeficientes é:
A = 2 & -1 & 3 1 & 2 & 1 7 & 4 & 9
O determinante dessa matriz, denotado por |A|, nos ajuda a saber se o sistema tem uma solução única ou não.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de A:
|A| = 2 cdot (2 cdot 9 - 1 cdot 4) - (-1) cdot (1 cdot 9 - 1 cdot 7) + 3 cdot (1 cdot 4 - 2 cdot 7)
|A| = 2 cdot (18 - 4) + 1 cdot (9 - 7) + 3 cdot (4 - 14)
|A| = 2 cdot 14 + 1 cdot 2 + 3 cdot (-10)
|A| = 28 + 2 - 30 = 0
Então, |A| = 0.

Passo 5

Quando o determinante da matriz dos coeficientes |A| é diferente de zero ( |A| neq 0), o sistema tem uma única solução. Mas aqui, |A| = 0, o que significa que o sistema pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções. Para decidir entre essas duas possibilidades, precisamos analisar mais a fundo.

Passo 6

Vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os termos constantes a, b e c:
2 & -1 & 3 & | & a 1 & 2 & 1 & | & b 7 & 4 & 9 & | & c
A consistência do sistema depende do posto (número de linhas não nulas) da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada. Se o posto da matriz aumentada for igual ao posto da matriz dos coeficientes, o sistema é consistente (tem solução). Se o posto da matriz aumentada for maior, o sistema é inconsistente (não tem solução).

Passo 7

Como |A| = 0, o posto da matriz dos coeficientes é menor que 3. Vamos verificar as condições para a matriz aumentada:
Para que o sistema tenha infinitas soluções, os termos constantes a, b e c devem estar dentro do mesmo plano determinado pelas primeiras duas equações. Isso significa que c deve ser tal que a terceira equação seja combinação linear das duas primeiras.
Para que não tenha solução, c deve estar fora desse plano.

Passo 8

Vamos expressar a terceira equação como uma combinação das duas primeiras:
7x + 4y + 9z = k(2x - y + 3z) + m(x + 2y + z)
Resolvendo isso para achar k e m, e depois igualando aos termos constantes, vamos determinar as condições em a, b e c.

Passo 9

Após resolver as equações, encontramos que para o sistema ter infinitas soluções, a constante c deve satisfazer a relação:
c = 5a + 3b
Se c neq 5a + 3b, então o sistema é inconsistente e não tem solução.

Resposta

Resumindo:
  • Infinitas soluções: Quando c = 5a + 3b.
  • Nenhuma solução: Quando c neq 5a + 3b.
  • Uma única solução: Nunca, pois o determinante é sempre zero.

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