A projeção de um certo vetor v na direção do vetor u=(4,2) é proju v=(2,1). Sabendo que |v|=6, determine v.

Passo 1

O enunciado diz que a projeção de vec v sobre vec u=(4,2) é
projvec uvec v=(2,1)
e que |vec v|=6.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula da projeção
projvec uvec v =vec ucdotvec v|vec u|^2,vec u
e a ideia de decompor vec v em uma parte paralela a vec u e outra perpendicular a vec u.

Passo 2

Pela fórmula da projeção, existe um escalar c tal que
c,vec u=(2,1)
Como vec u=(4,2), basta resolver
c,(4,2)=(2,1)Longrightarrow c=tfrac12
Isso implica
vec ucdotvec v|vec u|^2=tfrac12 e como|vec u|^2=4^2+2^2=20,
segue vec ucdotvec v=20cdottfrac12=10.

Passo 3

Agora escrevemos
vec v=underbraceprojvec uvec v(2,1)+vec w =(2,1)+vec w,
onde vec w é ortogonal a vec u, ou seja
vec wcdotvec u=0

Passo 4

Seja vec w=(w1,w2). A condição vec wcdotvec u=0
4w1+2w2=0 Longrightarrow 2w1+w2=0 Longrightarrow w2=-2w1
Então podemos pôr vec w=(t,-2t).

Passo 5

Como |vec v|=6, temos
|vec v|^2 =|(2,1)|^2+|vec w|^2 =5+l(t^2+(-2t)^2r) =5+5t^2 =36,
logo 5t^2=31 e
t=pmraiz315

Passo 6

Portanto as duas soluções para vec v são
vec v =(2,1)+l(pmraiztfrac315,;mp2raiztfrac315r)

Resposta

vec v =l(2pmraiztfrac315,,;1mp2raiztfrac315r)

Exercícios relacionados