Em quais condições sobre o escalar k, o conjunto \left\{(1,0, k),(1,1, k),\left(1,1, k^{2}\right)\right\} é L.I em \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

Resumindo o que temos: três vetores em \mathbb{R}^3 dados por (1,0,k), (1,1,k) e (1,1,k^2), e queremos saber para quais valores de k eles são linearmente independentes. Em \mathbb{R}^3, isso ocorre exatamente quando o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores é diferente de zero.

Passo 2

Vamos montar a matriz usando os vetores como linhas:
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & k\\\\ 1 & 1 & k\\\\ 1 & 1 & k^2 \end{pmatrix}.
A independência linear ocorre se \det(A)\neq 0.

Passo 3

Calculando o determinante por expansão na primeira linha:
\det(A) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix}1 & k\\\\ 1 & k^2\end{pmatrix} - 0 \cdot \det\begin{pmatrix}1 & k\\\\ 1 & k^2\end{pmatrix} + k \cdot \det\begin{pmatrix}1 & 1\\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
O segundo termo some por multiplicar zero e o terceiro some porque
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\\ 1 & 1\end{pmatrix}=0.
Então
\det(A) = 1\cdot (1\cdot k^2 - k\cdot 1) = k^2 - k.

Passo 4

Para ter independência linear queremos
k^2 - k \neq 0.
Fatorando, fica
k(k-1)\neq 0,
ou seja, k\neq 0 e k\neq 1.

Resposta

O conjunto é linearmente independente exatamente quando
k\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}.

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