Seja V um vetor que satisfaz as seguintes propriedades:
i) Os vetores V,(1,0,1) e ( 2,1,2 ) são coplanares.
ii) V é paralelo ao plano x+y-z+1=0.
iii) \|V\|=\sqrt{2}.
iv) O ângulo entre V e o vetor (1,1,0) é maior que \frac{\pi}{2}.
Determine o ponto inicial do representante de V que tem ponto final em ( 1,0,-3 ).

Passo 1

O enunciado pede um vetor V tal que
  1. V, (1,0,1) e (2,1,2) são coplanares;
  2. V é paralelo ao plano x+y-z+1=0;
  3. \|V\|=\sqrt{2};
  4. o ângulo entre V e (1,1,0) é maior que \tfrac{\pi}{2}.
    Depois disso, sabendo que o ponto final do representante de V é (1,0,-3), queremos achar seu ponto inicial.

Passo 2

Como V é coplanar com (1,0,1) e (2,1,2), podemos escrever
V = a\,(1,0,1) \;+\; b\,(2,1,2) = (a+2b,\; b,\; a+2b).

Passo 3

Para que V seja paralelo ao plano x+y-z+1=0, basta que V seja ortogonal ao vetor normal (1,1,-1). Logo
V\cdot(1,1,-1)=0 \;\Longrightarrow\; (a+2b)+b-(a+2b)=0 \;\Longrightarrow\; b=0.
Assim V=(a,0,a).

Passo 4

A norma de V é
\|V\|=\sqrt{a^2+0^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=|a|\sqrt{2},
e deve valer \sqrt{2}. Portanto |a|=1, isto é, a=1 ou a=-1.

Passo 5

Falta a condição do ângulo com (1,1,0) ser maior que \tfrac{\pi}{2}. O cosseno desse ângulo é
\cos\theta =\frac{V\cdot(1,1,0)}{\|V\|\;\|(1,1,0)\|} =\frac{a\cdot1 + 0\cdot1 + a\cdot0}{\sqrt{2}\,\sqrt{2}} =\frac{a}{2}.
Para \theta>\tfrac{\pi}{2} precisamos de \cos\theta<0, ou seja a<0. Logo a=-1 e
V=(-1,0,-1).

Passo 6

Se o ponto final do representante de V é P_f=(1,0,-3), então o ponto inicial P_i satisfaz
P_f = P_i + V \quad\Longrightarrow\quad P_i = P_f - V = (1,0,-3) - (-1,0,-1) = (2,0,-2).

Resposta

O ponto inicial é (2,0,-2).

Exercícios relacionados