Considere no \mathbb{R}^{3}, as bases \alpha=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} e \beta=\{(1,0,-1),(0,1,-1),(-1,1,1)\}.
a) Ache a matriz de mudança de base [\mathrm{I}]_{\beta}^{\alpha}
b) Calcular v_{\alpha} sabendo que v_{\beta}=(7,-4,6).
c) Calcular v_{\beta} sabendo que v_{\alpha}=(1,2,3).
Passo 1
O enunciado trabalha em \mathbb{R}^3 com a base canônica
\alpha = \{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}
e a base
\beta = \{(1,0,-1),\,(0,1,-1),\,(-1,1,1)\}.
Precisamos
determinar a matriz de mudança de base de \beta para \alpha, isto é [\mathrm{I}]_{\beta}^{\alpha};
dado v_{\beta}=(7,-4,6), achar v_{\alpha};
dado v_{\alpha}=(1,2,3), achar v_{\beta}.
O conteúdo envolve que as colunas de [\mathrm{I}]_{\beta}^{\alpha} são justamente as coordenadas, na base \alpha, dos vetores de \beta, depois usamos multiplicação matricial (e inversão ou sistema linear) para converter coordenadas.
Passo 2
Para (a), cada vetor da base \beta já está expresso em coordenadas canônicas. Logo
[\mathrm{I}]_{\beta}^{\alpha}
é a matriz cujas colunas são (1,0,-1), (0,1,-1) e (-1,1,1). Assim,