Considere no \mathbb{R}^{3}, as bases \alpha=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} e \beta=\{(1,0,-1),(0,1,-1),(-1,1,1)\}.
a) Ache a matriz de mudança de base [\mathrm{I}]_{\beta}^{\alpha}
b) Calcular v_{\alpha} sabendo que v_{\beta}=(7,-4,6).
c) Calcular v_{\beta} sabendo que v_{\alpha}=(1,2,3).

Passo 1

O enunciado trabalha em \mathbb{R}^3 com a base canônica
\alpha = \{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}
e a base
\beta = \{(1,0,-1),\,(0,1,-1),\,(-1,1,1)\}.
Precisamos
  1. determinar a matriz de mudança de base de \beta para \alpha, isto é [\mathrm{I}]_{\beta}^{\alpha};
  2. dado v_{\beta}=(7,-4,6), achar v_{\alpha};
  3. dado v_{\alpha}=(1,2,3), achar v_{\beta}.
O conteúdo envolve que as colunas de [\mathrm{I}]_{\beta}^{\alpha} são justamente as coordenadas, na base \alpha, dos vetores de \beta, depois usamos multiplicação matricial (e inversão ou sistema linear) para converter coordenadas.

Passo 2

Para (a), cada vetor da base \beta já está expresso em coordenadas canônicas. Logo
[\mathrm{I}]_{\beta}^{\alpha}
é a matriz cujas colunas são (1,0,-1), (0,1,-1) e (-1,1,1). Assim,
[\mathrm{I}]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para (b), sabendo v_{\beta}=(7,-4,6), basta multiplicar
v_{\alpha} = [\mathrm{I}]_{\beta}^{\alpha}\;v_{\beta}.
Fazendo as contas:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}7\\\ -4\\\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot7 +0\cdot(-4) +(-1)\cdot6\\\\ 0\cdot7 +1\cdot(-4) +1\cdot6\\\\ -1\cdot7 +(-1)\cdot(-4) +1\cdot6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 4

Para (c), dado v_{\alpha}=(1,2,3)\), precisamos resolver \[[\mathrm{I}]_{\beta}^{\alpha}\;v_{\beta} = v_{\alpha}.
Chamando v_{\beta}=(t_1,t_2,t_3), o sistema
\begin{cases} t_1 - t_3 = 1,\\\ t_2 + t_3 = 2,\\\\ -\,t_1 - t_2 + t_3 = 3 \end{cases}
leva a t_3=6\], \(t_1=1+6=7 e t_2=2-6=-4. Portanto
v_{\beta}=(7,-4,6).

Resposta

(a)
[\mathrm{I}]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
(b) v_{\alpha} = (1,2,3).
(c) v_{\beta} = (7,-4,6).

Exercícios relacionados