Considere a transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por
\mathrm{T}(x, y)=(x+y,-3 x+8 y, 11 x-15 y)
e as bases ordenadas \alpha=\{(1,1),(1,0)\} do \mathbb{R}^{2} e \beta=\{(1,2,0),(1,0,-1),(1,-1,3)\} do \mathbb{R}^{3}, determinar a matriz \mathrm{[T]}_{\beta}^{\alpha}.
Passo 1
O enunciado pede a matriz de representação de \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 relativa à base \alpha=\{(1,1),(1,0)\} no domínio e à base \beta=\{(1,2,0),(1,0,-1),(1,-1,3)\} no contradomínio. Para isso, vamos calcular \mathrm{T} sobre cada vetor de \alpha e depois expressar esses resultados como combinação linear dos vetores de \beta.
Passo 2
Calcular as imagens dos vetores da base \alpha.
Para v_1=(1,1):
Expressar \mathrm{T}(1,1)=(2,5,-4)\) na base \(\beta\).
Procuramos escalares \(a,b,c\) tais que
\[a\,(1,2,0) \;+\; b\,(1,0,-1)\;+\;c\,(1,-1,3)\;=\;(2,5,-4).
Isso dá o sistema
\begin{cases} a + b + c = 2,\\\\ 2a \;-\; c = 5,\\\\ -\,b \;+\;3c = -4. \end{cases}
Da segunda equação vem c=2a-5\]. Da terceira, \(b=3c+4. Substituindo na primeira:
a + (3c+4) + c =2 \;\Rightarrow\; a +4c = -2 \;\Rightarrow\; a +4(2a-5)=-2 \;\Rightarrow\; 9a =18 \;\Rightarrow\; a=2.
Logo c=2\cdot2-5=-1 e b=3(-1)+4=1.
Portanto, as coordenadas de \mathrm{T}(1,1) em \beta são (2,1,-1).
Passo 4
Expressar \mathrm{T}(1,0)=(1,-3,11)\) na base \(\beta\).
Procuramos \(a,b,c\) tais que
\[a\,(1,2,0) + b\,(1,0,-1) + c\,(1,-1,3) = (1,-3,11),
o que gera
\begin{cases} a + b + c = 1,\\\\ 2a - c = -3,\\\\ -\,b +3c = 11. \end{cases}
Da segunda equação c=2a+3\]; da terceira \(b=3c-11. Na primeira:
a + (3c-11) + c =1 \;\Rightarrow\; a +4c = 12 \;\Rightarrow\; a +4(2a+3)=12 \;\Rightarrow\; 9a=0 \;\Rightarrow\; a=0.
Logo c=3 e b=3\cdot3-11=-2.
As coordenadas de \mathrm{T}(1,0) em \beta são (0,-2,3).
Passo 5
Montar a matriz [\mathrm{T}]_{\beta}^{\alpha}.
As colunas são as coordenadas encontradas nos passos anteriores, na ordem dos vetores de \alpha.