a) Seja
i) Verifique se
é um subespaço de
.
ii) Se W for subespaço exiba uma base e dê a dimensão.
i) Verifique se
ii) Se W for subespaço exiba uma base e dê a dimensão.
Passo 1
O enunciado define
e pede:
i) verificar se é subespaço de
, ou seja, checar não-vazio, estabilidade por soma e por produto escalar;
ii) caso seja subespaço, exibir uma base de e determinar
.
i) verificar se
ii) caso seja subespaço, exibir uma base de
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço, usamos que
é o núcleo do funcional linear
Como
é linear, seu núcleo contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob escalar. Logo,
Portanto,
é subespaço de
.
Passo 3
Para encontrar uma base, resolvemos
Assim um vetor genérico de
é
Passo 4
Os vetores
geram
e são linearmente independentes (nenhum é múltiplo do outro). Logo são base de
e
Resposta
i)
é subespaço de
.
ii) Uma base de é
e
.
ii) Uma base de