a) Seja \mathrm{W}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid \quad 2 x-y+3 z=0\right\}
i) Verifique se W é um subespaço de V=\mathbb{R}^{3}.
ii) Se W for subespaço exiba uma base e dê a dimensão.

Passo 1

O enunciado define
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 2x - y + 3z = 0\}
e pede:
i) verificar se W é subespaço de V=\mathbb{R}^3, ou seja, checar não-vazio, estabilidade por soma e por produto escalar;
ii) caso seja subespaço, exibir uma base de W e determinar \dim W.

Passo 2

Para mostrar que W é subespaço, usamos que W é o núcleo do funcional linear
f\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},\quad f(x,y,z)=2x - y + 3z.
Como f é linear, seu núcleo contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob escalar. Logo,
\mathbf{0}=(0,0,0)\in W,\quad (u,v,w)\,,\,(u',v',w')\in W\implies (u+u',v+v',w+w')\in W,
\lambda\in\mathbb{R}\,,\;(u,v,w)\in W\implies (\lambda u,\lambda v,\lambda w)\in W.
Portanto, W é subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Para encontrar uma base, resolvemos
2x - y + 3z=0\quad\Longleftrightarrow\quad y=2x+3z.
Assim um vetor genérico de W é
(x,y,z) = \bigl(x,\,2x+3z,\,z\bigr) = x\,(1,2,0) \;+\; z\,(0,3,1).

Passo 4

Os vetores
v_1=(1,2,0),\quad v_2=(0,3,1)
geram W e são linearmente independentes (nenhum é múltiplo do outro). Logo são base de W e
\dim W = 2.

Resposta

i) W é subespaço de \mathbb{R}^3.
ii) Uma base de W é \{(1,2,0),\,(0,3,1)\} e \dim W = 2.

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