Em que condições sobre a, b e c o sistema
3 x-y+2 z=a
2 x+y+z=b
x-3 y-4 z=c
tem uma única solução? Nenhuma solução? Infinitas soluções?

Passo 1

O sistema
3x - y + 2z = a, 2x + y + z = b, x - 3y - 4z = c
é um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas. Para discutir existência e unicidade de solução, usamos o Teorema de Rouché–Capelli e, em particular, o critério do determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = 3 & -1 & 2 2 & 1 & 1 1 & -3 & -4
Calculamos
det A =31 & 1-3 & -4 -(-1)2 & 11 & -4 +22 & 11 & -3 =-3-9-14=-26neq0

Passo 3

Como det Aneq0, o sistema é sempre compatível determinado, ou seja, tem exatamente uma solução para qualquer escolha de a,b,c. Os casos de nenhuma solução ou de infinitas soluções só ocorreriam se det A=0, o que aqui não acontece.

Resposta

Única solução: para todo a,b,cinR, pois det A=-26neq0.
Nenhuma solução: não ocorre, já que det Aneq0.
Infinitas soluções: não ocorre, já que det Aneq0.

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