Se SWAP(Rp, Rq) transforma A em B, mostre que SWAP(Rp, Rq) também transforma B em A.

Passo 1

O enunciado diz que, ao trocar as linhas p e q de uma matriz A (isto é, aplicar SWAP(Rp,Rq)), obtemos a matriz B. Precisamos mostrar que a mesma operação em B reconstrói A. O conteúdo aqui é a operação elementar de troca de linhas em matrizes e sua propriedade de involução (ser sua própria inversa).

Passo 2

Definição de SWAP(Rp,Rq) em uma matriz genérica M: o resultado M' é dado por
M'ij = Mqj, & i = p, Mpj, & i = q, Mij, & i neq p,q

Passo 3

Como B = SWAP(Rp,Rq)(A), temos para cada coluna j:
bpj = aqj, bqj = apj, bij = aijse ineq p,q

Passo 4

Agora aplicamos de novo SWAP(Rp,Rq), desta vez em B. Chamando o resultado de C, vale
cpj = bqj, cqj = bpj, cij = bijse ineq p,q

Passo 5

Substituindo as fórmulas de bij do Passo 3:
cpj = bqj = apj, cqj = bpj = aqj, cij = bij = aij (ineq p,q)
Portanto cij=aij para todo i,j, ou seja, C=A.

Resposta

Aplicar SWAP(Rp,Rq) em B devolve A, mostrando que a operação é involutiva (igual à sua inversa).

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